Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
После того, как мы обсудили понятие множества, изучим основные операции над множествами.
Одна из аксиом теории множеств постулирует существование некоторого множества, называемого пустым - это множество, не содержащее ни одного элемента, оно обозначается или Ø.
Ряд других аксиом позволяют строить новые множества из уже имеющихся, в частности постулируется существование объединения, пересечения двух множеств, разности множеств и множества, содержащего хотя бы по одному элементу из каждого из заданных множеств.
Пересечением множеств и (обозначается ) называется множество, элементы которого принадлежат и множеству и множеству одновременно:
.
Объединением множеств и (обозначается ) называется множество, элементами которого являются все элементы множества и все элементы множества и никакие другие:
.
Разностью множеств и (обозначается ) называется множество всех тех элементов множества , которые не являются элементами множества :
.
Пример 1.6. Пусть и , тогда , , , .
A |
B |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
Рис.1.1.1. на верхних; на средних; на нижнем левом; на нижнем правом е).
Множество называется подмножеством множества (обозначается ), если любой элемент множества является элементом множества . Если при этом , то говорят, что является собственным подмножеством множества и пишут . Запись читается " является подмножеством множества " или " содержится в " или, наконец, включает . Если хотят сказать, что множество не является подмножеством , то пишут .
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Пример 1.7. Если , то его подмножествами являются Ø, , , , , , , . Заметим, что мы перечислили все подмножества множества .
Важно не смешивать отношения принадлежности и отношение включения . Проиллюстрируем это на примере.
Пример 1.8. Рассмотрим множество . Заметим прежде всего, что оно состоит из четырех элементов: . Верными являются следующие соотношения:
, , , , , .
Следующие соотношения верными не являются:
.
В математике, и мы еще не раз встретимся с этим, особенно в математическом анализе, используются специальные обозначения и терминология для подмножеств множества действительных чисел, изображаемых на числовой оси в виде некоторых промежутков. Рассматриваются следующие промежутки:
- замкнутый промежуток или отрезок,
= - открытый промежуток (интервал),
= - полуоткрытый промежуток (отрезок открытый справа или интервал замкнутый слева),
=( - полуоткрытый промежуток (отрезок открытый слева или интервал замкнутый справа),
, , - бесконечные промежутки.
В заключение этого параграфа приведем пример на доказательство равенства двух множеств.
Пример 1.9. Доказать, что
= . (1.1)
Пусть , следовательно, , или , Рассмотрим первую из этих возможностей, вторая рассматривается аналогично. Итак, пусть , тогда и , но тогда и , откуда следует, что . Таким образом, доказано, что если , то .
Пусть теперь , тогда и , следовательно, возможны две ситуации:
1. и , тогда и тем более ;
2. и , этот случай аналогичен предыдущему.
Из доказанного следует, что если , то . Это завершает доказательство равенства (1.1).
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 349 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!