Цели математического моделирования. Поскольку нет четких правил выделения системы из внешней среды (зачастую трудно сказать, где кончается система и начинается среда)

Поскольку нет четких правил выделения системы из внешней среды (зачастую трудно сказать, где кончается система и начинается среда), система может иметь практически необозримое количество сущностей (свойств), создание модели всей системы нереально – не существует модели «вообще».

Моделирование имеет целевой характер - модель отображает не вообще оригинал, а то, что необходимо для исследований системы.

Каждая система существует или создается, чтобы реализовать определенную цель. Нет систем без целей. Цель является выходным, последним параметром в цепи преобразований от входа к выходу. Те переменные, которые не связаны по цепям с выходным показателем, не относятся к рассматриваемой системе и должны быть отброшены.

Как и любая другая модель, математическая модель создается с определенной целью.

Возможные цели математического моделирования:

- выявление наиболее существенных факторов, формирующих свойства системы (в том числе не реализованной в природе - проекта) и ее поведение, выявления закономерностей, прогноз развития систем;

- выявление всей совокупности существенных связей в системе путем анализа (проигрывания, имитирования) всевозможных ситуаций, в том числе с возможностью изменения масштабов времени;

- определение последствий воздействия на объект (задача типа «Что будет, если...»: что будет, если увеличить плату за проезд в транспорте, или что произойдет, если закопать ядерные отходы в такой-то местности?);

- апробирование возможных вариантов управления сложной системой или процессом;

- прогнозирование состояния системы под действием различных факторов в различных ситуациях при недопустимости широкомасштабных экспериментов (с ядерной войной, экономикой страны, здоровьем населения, средой обитания, здоровьем человека);

- исследование характеристик системы при фиксированных свойствах;

- создание объектов с заданными свойствами и оптимизация некоторых характеристик - проектных параметров, для чего необходимо выявить те параметры, которые можно изменять в процессе моделирования (задача типа «Как сделать, чтобы...»);

Оценка целесообразности осуществления моделирования является завершающим моментом этапа определения цели моделирования. Проведение моделирования требует некоторых затрат: чем система сложнее и чем выше требования к точности результатов, тем затраты больше. Если целью является обоснование работоспособности системы, то экономический эффект от эксплуатации данной системы должен превосходить расходы на моделирование. При оптимизации системы затраты на моделирование должны окупаться за счёт разницы между наилучшим и наихудшим вариантами системы.

Пример. Цель моделирования – расчёт значений выбранного показателя эффективности для различных вариантов построения компьютерной сети, которая бы обладала минимальной стоимостью при соблюдении требований по производительности и по надежности. Задача может формулироваться иначе: из нескольких вариантов конфигурации компьютерной сети необходимо выбрать наиболее надежный. В данном случае показателем эффективности можно выбрать один из показателей надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и пр.), а целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.

Одновременно с этим рассмотренная компьютерная сеть вуза может использоваться в системах обучения и управления набором студентов, в системе научно-технических разработок и пр. Эта же сеть может быть элементом систем энергоснабжения, технического обслуживания и снабжения. В этом случае используют показатель технико-экономической эффективности, который учитывает не только затраты, но и некоторые измеряемые выходные характеристики системы. При однокритериальной оценке эффективность определяется по одному частному показателю качества, а на допустимые значения прочих накладываются ограничения.

2.2 Общие методы построения математической модели

Общий подход к построению модели для решения задачи исследования системы:

Математическая модель существует в виде «модель-алгоритм-программа»: исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с помощью вычислительного эксперимента (здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить и любая ситуация, явление, процесс и т.д.). Для этого мы выбираем (строим) „математический объект“ a ' — систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,— исследование и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a ' называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств.

В технологии моделирования традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все ее параметры считаются известными, главная задача — провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Типичные примеры прямой задачи: какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости, или на ветер), как самолет преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера?

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).

Одним из первых примеров решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

Разработчики моделей находятся под действием двух взаимно противоречивых тенденций: стремления к полноте описания и стремления к получению требуемых результатов возможно более простыми средствами. Достижение компромисса ведется обычно по пути построения серии моделей, начинающихся с предельно простых и восходящих до высокой сложности (существует известное правило: начинай с простых моделей, а далее усложняй). Простые модели помогают глубже понять исследуемую про­блему. Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования. Такой анализ позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения.

Создание математической модели преследует две основные цели:

- дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания;

- попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.

Единой методики построения математических моделей не существует. Это обусловлено большим разнообразием классов систем.

Построение модели, отражающей статику системы (состав компонентов и структуру связей) не вызывает больших затруднений. Для динамической системы статику необходимо дополнить описанием работы системы во времени.

Как разделить модель на подмодели, как построить иерархию моделей для исследования элементов (декомпозиция) и как их потом объединить для исследования системы в целом, чтобы объяснить целое через частности – основная проблема моделирования.

Абстрагирование - упрощенное описание системы, при котором отделяются самые существенные для исследования системы свойства и особенности поведения от несущественных. В основе абстрагирования – минимизация связей.

Выбор правильного набора абстракций (сущности и поведения) для заданной предметной области представляет собой главную задачу неформализуемую задачу формирования модели.

Декомпозиция. Основная операция системного анализа (неформальная) – декомпозиция (разделение целого на части). Применительно к построению структуры модели – определение состава модели (компонентов).

Компонент – любая часть предметной области, которая может быть выделена как некоторая самостоятельная сущность. Это и система (модель) в целом, и любая часть системы (модели) – подсистема, элемент.

Основная сложность декомпозиции – определение базовых (неделимых) моделей компонентов, соотношение моделей микро- и макроподхода. В основе декомпозиции – достижение компромисса между полнотой набора формальных моделей рассматриваемой системы и простотой – он может быть достигнут, если в модель включаются только модели компонентов, существенных по отношению к цели моделирования.

При математическом моделировании сколько-нибудь сложного объекта описать его одной моделью для всестороннего исследования практически не удается, и если такая модель была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа.

Рассмотрение вместо самой системы (факта, явления, процесса, объекта) математической модели всегда несет идею упрощения – выявление существенного и отсекание несущественного (бритва Оккама·). Это позволит достичь необходимый компромисс между простотой описания и необходимостью учета многочисленных и разноплановых характеристик системы (проблема должна быть рассмотрена всесторонне и подробно) и простотой. Это неформальное действие – компромисс достигается после определения понятия существенности для данного исследования (степень влияния на результат).

Пример: оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, при котором общий объем продукции был бы максимальным. Решение задачи зависит от принятого вида модели производства и вида модели целевой функции – в зависимости от этого оптимизационная задача может быть решена аналитически или методами имитационного моделирования.

Агрегирование представляет собой процесс, обратный декомпозиции – моделируется укрупненная система, количество рассматриваемых элементов сокращается (и соответственно связей).

Высокая степень агрегации (укрупненные объекты системы и основные связи между ними) дает возможность достаточно просто исследовать систему в целом, но при этом усложняется изучение каждого элемента (его структуры и связей), что может оказать влияние на исследование всей системы.

Низкая степень агрегации позволит достаточно подробно изучить каждый элемент, его структуру и связи, но при этом значительно усложнится изучение взаимодействия элементов и связей системы.

Агрегация может означать не только физическое вхождение одного объекта в другой, но и концептуальное. Самолет состоит из крыльев, двигателей, шасси и прочих частей. С другой стороны, отношения акционера с его акциями - это агрегация, которая не предусматривает физического включения.

Операция агрегирования используется для синтеза модели (построение структуры модели) и представляет собой установление отношений между компонентами - агрегатами (в данном случае – между компонентами модели).

Свойства агрегата не являются только совокупностью свойств его отдельных элементов – агрегат как система может обладать такими свойствами, которых нет ни у одного из составляющих его элементов (выражение закона диалектики – переход количества в качество).

Установление отношений может быть проведено различными способами: агрегацией, присоединением, построением функциональных зависимостей (формирование оператора), отражающих физические связи (потоки передачи вещества, энергии, информации), классификацией и др. (пространственные, временные отношения).

Отношение агрегации устанавливается между подсистемами (подмоделями), одна из которых включает в качестве составной части другую. Такое множество представляет собой дерево подсистем (подмоделей).

Отношение присоединения отражает возможность присоединения элемента к компоненте в качестве значения одного из атрибутов.

Отношение классификации устанавливает отношение эквивалентности между элементами системы (модели) – описывает условия образования классов.

Чтобы понять во всех тонкостях поведение сложной системы, используется не одна модель – процесс исследований становится итеративным. Каждая модель может описывать либо укрупнено всю систему, либо более подробно определенную часть системы. В процессе исследований оценивается поведение каждой модели в обычных и необычных ситуациях, затем проводятся соответствующие доработки моделей: укрупненные модели строятся на базе уточненных подробных моделей подсистем.

Микроподход и макроподход в исследованиях системы.

В соответствии с принципами декомпозиции и агрегации при построении выделяют уровнями предполагаемых исследований системы: микроподход или макроподход.

Микропоход: детальное изучение каждого компонента системы и всех внутренних процессов в системе. Изучаются структура, функции и связи каждого из выделенных элементов, совокупность и диапазон возможных изменений параметров, исследуется процесс функционирования системы в целом.

Изучение на микроуровне явления в физике позволяет определить реакцию элемента на внешние воздействия – его связи. Поведение системы более высокого уровня имеет качественно новый характер, но он определяется уже выявленными взаимосвязями.

Например, на нижнем уровне рассматривается хаотическое движение молекул, на более высоком уровне – уже поток газа, и его новые характеристики – давление, температура, плотность и др., которые определяются хаотическим движением молекул.

Математическая модель технической системы микроуровня - система дифференциальных уравнений, описывающая процессы на основе фундаментальных законов физики. Известна система таких уравнений для механики, гидравлики, термодинамики.

При рассмотрении технической системы на микроуровне выделяются отдельные блоки, агрегаты, узлы, каждый из которых в зависимости от протекающих в нем физических процессов можно рассматривать как механическую, тепловую, гидравлическую, электрическую систему.

Примеры таких моделей на микроуровне: исследования обтекания газом, тепловых режимов, исследование напряженного состояния элементов и узлов конструкций, определение прочности при различных видах нагружения.

Пример. Почему подпрыгивает мяч?

Почему резиновый мяч подскакивает, ударившись об асфальт?

Очевидно, что при ударе об асфальт мяч деформируется, сжимается. При этом давление газа в нём увеличивается. Стремясь расправиться, восстановить свою форму, мяч давит на асфальт и отталкивается от него. Вот, казалось бы, и всё, причина подскакивания выяснена. Однако приглядимся внимательнее. Для простоты оставим без рассмотрения процессы сжатия газа и восстановления формы мяча. Перейдём сразу к рассмотрению процесса в точке соприкосновения мяча и асфальта.

Мяч отскакивает от асфальта, поскольку две точки (на асфальте и на мяче) взаимодействуют: каждая из них давит на другую, отталкивается от неё. Зададимся вопросом: в чём состоит это давление? Как оно «выглядит»?

Углубимся в молекулярное строение вещества. Молекула резины, из которой сделан мяч, и молекула камня в асфальте давят друг на друга, то есть стремятся оттолкнуть друг друга. И опять всё вроде бы просто, но появляется новый вопрос: а что является причиной, источником явления «сила», которое принуждает каждую из молекул двигаться прочь, испытывать принуждение к движению от «соперницы»? Видимо, атомы молекул резины отталкиваются от атомов, из которых состоит камень. Если ещё короче, упрощённее, то один атом отталкивается от другого. И снова: почему?

Переходим к атомному строению вещества. Атомы состоят из ядер и электронных оболочек. Вновь упростим задачу и будем считать (достаточно обоснованно), что атомы отталкиваются либо своими оболочками, либо своими ядрами, в ответ получая новый вопрос: как именно происходит это отталкивание? Например, электронные оболочки могут отталкиваться вследствие своих одинаковых электрических зарядов, поскольку одноимённые заряды отталкиваются. И вновь: почему? Как это происходит?

Что заставляет отталкиваться друг от друга, например, два электрона? Нужно идти всё дальше и дальше вглубь строения вещества. Но уже здесь вполне заметно, что любая наша выдумка, любое новое объяснение физического механизма отталкивания будет ускользать всё дальше и дальше, как горизонт, хотя формальное, математическое описание при этом всегда будет точным и ясным. И при этом мы всегда будем видеть, что отсутствие физического описания механизма отталкивания не делает этот механизм, промежуточную его модель абсурдными, нелогичными, противоречащими здравому смыслу. Они в определённой степени упрощённые, неполные, но логичные, разумные, осмысленные.

Макроподход: исследование достаточно крупных элементов как неделимых единиц.

При исследовании системы игнорируется ее детальная структура, исследуется только общее поведение системы, оцениваются ее интегративные характеристики. Создается модель взаимодействия системы с внешней средой (модель "вход – выход"), формируются общие представления о системе.

Рассматриваются макрохарактеристики системы: границы системы, тип структуры, характер взаимосвязей "вход – выход", особенности функционирования (дискретное, непрерывное), особенности протекающих процессов, особенности жизненного цикла системы.

Построение системы на макроуровне предполагает разбиение системы на элементы, описание свойств каждого элемента с учетом связей с другими элементами, описание их объединения в систему.

При рассмотрении технической системы на макроуровне выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются как неделимые единицы. Внутренние параметры элементов не рассматриваются - описываются взаимные связи между укрупненными элементами. Рассматриваются модели типовых технических элементов - отдельные однородные физические подсистемы (механическая, гидравлическая, электрическая), определяются зависимости между подсистемами.

Пример: модели макроуровня в экономике – это модели без управления – описываются процессы, течение которых в основных чертах определяется данным состоянием. В процессе агрегирования постепенно исчезают детали, происходит интегрирование, взаимное погашение различных человеческих факторов – производство выступает как единый процесс со всеми его объективными законами, не зависящими от воли отдельных людей. Такие сильно агрегированные модели позволяют увидеть явление в целом – модели описывают глобальную картину.

Формальная запись модели системы

Формализация задачи моделирования предполагает установление формальных правил, которые отражают связи между причинами и следствиями, и зависят от знания исследуемого объекта, цели исследования, вида создаваемой модели.

Формальная запись модели системы определяется формальным определением системы и модели системы. Но поскольку таких формальных определений нет, то не существует четкого определения формальной записи модели системы. Сложились определенные направления формализации, более или менее применимые к конкретным типам систем.

В терминах теоретико-множественного представления система может формально рассматриваться как некоторое абстрактное множество элементов А.

Элементы системы представляются как элементы отображающего ее множества: а ₁, а ₂,..., а _n. Отображение характеристического свойства элемента - а _i: f (а _i).

Каждому элементу а множества А ставится в соответствие вполне определенный элемент b другого множества B, т.е. в виде отображения b (a) или

A → B: b (a) Î B, a ÎA.

Множество – совокупность элементов, выделенных по определенному признаку.

Отображение – закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества A ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества B. Такое соотношение между элементами a Î A и b Î B записывается в виде b = f (a), или b = fa, или b = b (a). Пишут также f: A → B и говорят, что отображение f действует из A в B, или отображение множества A во множество B. Множество A называется областью определения отображения, а множество { b = f (a), a ∈ A } ∈ B - множеством значений отображения. Логически понятие "отображение" совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование.

Оператором F из множества A во множество B называется правило, согласно которому каждому элементу a из некоторого множества A соответствует однозначно определенный элемент F (a) ∈ B. Операторные схемы – пронумерованная последовательность действий.

С помощью этих понятий строится формальная запись математические модели системы.

Величина системы, отображаемой некоторым множеством Э, может быть представлена через:

- полный перечень отображений всех входящих в систему элементов: Э = { е ₁, е ₂,... е _n},

- характеристический признак, определяющий принадлежность элемента множеству Э, отображающего систему: Э = { е _i / f (е _i)}, где i = 1,..n,

- полный перечень входящих в систему подсистем: Э = { Э ₁, Э ₂,..., Э _m}.

Формальным отображением связей системы являются отношения. Представления об отношениях универсальны, они пригодны для описания любого вида связей (материальных, энергетических, информационных, социальных).

В теоретико-множественной постановке отношения только устанавливают существования связей, но не определяют их характера. Отношения принадлежности Î и включения Ì формируют представление о величине и ресурсах системы. Они определяют, принадлежит Î или не принадлежит Ï элемент множеству Э. входит Ì или не входит Ë элемент е _i (подсистема) в множество Э (систему).

Элементарной ячейкой, в которой реализуется представление об организации системы, является упорядоченная пара. Два элемента е₁ и е₂, связанные некоторым отношением r, рассматриваются как элементарная организация – упорядоченная пара, характеризующаяся величиной и структурой. Упорядоченная пара записывается так: < е₁; е₂ > или е₁ r е₂, при этом элемент е₁ называется первой координатой упорядоченной пары, а элемент е₂ – ее второй координатой. Упорядоченная пара полностью определяется (как по величине, так и по структуре) ее элементами е₁, е₂ и отношением r.

Символьная запись системы. Будем обозначать элементы через е, а всю их рассматриваемую возможную совокупность – через { Э }. Принадлежность элемента совокупности – е ∈{ Э }.

s ₁₂

s ₂₁

Применим кортежную* запись:

å: {{ Э }, { S }, F },

где å - система, {Э} – совокупность элементов в ней, {S} – совокупность связей, F – функции системы (интегративные функции системы в целом, состоящей из совокупности элементов).

Разнородность элементов сложной системы: { Э }: { е₁₁,..., е_1R }. Аналогично, разнородность связей: { S }: { S ₁₁,..., S _1R }.

Например, символьная запись автоматизированной системы с определяющей ролью элементов двух типов – в виде технических устройств и в виде действий человека:

å^А: {{ Э ^Т}, { Э ^Ч}, { Э ⁰}, { S }, F },

где – Э ^Т технические устройства (например, ЭВМ), Э ^Ч - решения человека, Э ⁰ - остальные элементы. В совокупности { S } в этом случае могут быть выделены связи между человеком и техникой { S ^Т-Ч}.

Элемент может быть помещен в систему, исключен из системы, могут быть изменены его связи – это относится к изменению структуры системы.