![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
Решение. 1) Интеграл преобразуем к табличному методом замены переменной. Так как , то, вводя новую переменную
находим интеграл:
.
Проверка. Покажем, что производная от найденного неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. По свойству неопределённого интеграла это означает, что интеграл найден верно.
. Интеграл найден верно.
2) Преобразуем интеграл к виду :
. Учитывая, что
, то после введения новой переменной
получаем табличный интеграл:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
3) Для интегрирования произведения степенной функции на трансцендентную функцию (тригонометрическую, обратно тригонометрическую, показательную или логарифмическую) применяется метод интегрирования по частям, опирающийся на использование формулу интегрирования по частям . (*)
Пусть и
, тогда
и
.
Применяя формулу (*), находим:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
4) Для нахождения неопределённого интеграла от неправильной рациональной дроби, степень числителя которой больше или равна степени знаменателя, выделим из дроби целый многочлен и правильную дробь, используя деление многочленов «уголком»:
Таким образом, имеем:
Следовательно, по свойству неопределённого интеграла
(*)
В последнем интеграле квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, которые находим из квадратного уравнения
:
После этого правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму двух простейших элементарных дробей методом неопределённых (буквенных) коэффициентов следующим образом:
(**), где А и В – неопределённые коэффициенты.
Приводя к общему знаменателю сумму и группируя по степеням переменной х, получаем:
.
Из равенства (**) следует, что , а это возможно тогда и только тогда, когда
или
Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, находим неопределенные коэффициенты:
,
.
Подставим найденные значения А и В в равенство (**), получим:
Следовательно,
Исходный интеграл в формуле (*) примет вид:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
Ответ: 1) ; 2)
; 3)
; 4)
.
Задание 2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .
Решение. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:
Для вычисления заданного интеграла используем метод замены переменной в определённом интеграле: ,
,
.
Найдём пределы интегрирования для новой переменной t. Если , то
. Если
, то
. Итак,
Вычисляем интеграл, переходя к новой переменной с новыми пределами интегрирования:
Ответ: .
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и
. Сделать чертеж.
Решение. Для выполнения чертежа (рисунка фигуры) найдём координаты вершины параболы и точек пересечения параболы с прямой. Вершина параболы находится в точке экстремума функции
Поэтому найдём производную и приравняем её нулю.
По уравнению параболы находим Вершина параболы находится в точке
, ветви параболы направлены вниз.
Для нахождения точек пересечения параболы и прямой необходимо решить систему двух уравнений:
Точками пересечения являются и
Делаем чертёж фигуры.
![]() |
Для вычисления площади S полученной фигуры будем использовать формулу: , где
– уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а
– уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу,
и
– абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае:
,
,
и
.
Вычисляем площадь фигуры:
(кв. ед.).
Ответ: 4,5 (кв. ед.).
Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций и
.
Решение. Для выполнения чертежа фигуры найдём координаты точек пересечения параболы с прямой, решив систему двух уравнений:
Точками пересечения являются и
. Делаем чертёж фигуры.
![]() |
Для вычисления объема V, получаемого при вращении данной фигуры вокруг оси Ох, будем использовать формулу: , где
– уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а
– уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу,
и
– абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае:
,
,
и
.
Вычисляем объем:
(куб. ед.).
Ответ: (куб. ед.).
4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (x 0) = y 0.
1. ,
. 2.
,
.
3. , y (0) = 5. 4.
, y (–2) = 5.
5. , y (0) = 2. 6.
, y (1) = e.
7. , y (3) = 1. 8.
, y (0) = 2.
9. , y (1) = 0. 10.
, y (0) = 3.
2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (x 0) = y 0 и
1. , y (0) = –2,
.
2. , y (0) = 3,
.
3. , y (0) = –3,
.
4. , y (0) = –1,
.
5. , y (0) = 1,
.
6. , y (0) = 2,
.
7. , y (0) = 2,
.
8. , y (0) = 3,
.
9. , y (0) = 0,
.
10. , y (0) = 0,
.
3. Написать три первых члена степенного ряда, найти его область абсолютной сходимости.
1. . 2.
. 3.
.
4. . 5.
. 6.
.
7. . 8.
. 9.
.
10. .
4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.
1. . 2.
. 3.
.
4. . 5.
. 6.
.
7. . 8.
. 9.
.
10. .
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 305 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!