Определенный интеграл. 1. Пусть на отрезке [a; b] задана функция f(x)

1. Пусть на отрезке [ a; b ] задана функция f (x). Произвольным образом разобьем отрезок [ a; b ] на n частей точками a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < … <
< x_{k –1} < x_k < … < x_n = b. Обозначим через D x_k = xk – x_{k –1} – длину k -го отрезка. На каждом отрезке [ x_{k –1}; x_k ] возьмем произвольно точку x _k и вычислим в ней значение функции f (x _k). Найдем все произведения f (x _k)D x_k и составим интегральную сумму . Если существует конечный предел интегральной суммы при n → ¥, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a; b ] на части, ни от выбора точек x _k, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом .

2. – формула Ньютона-Лейбница.

3. – формула интегрирования по частям.

4. Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной слева и справа прямыми и , осью и сверху графиком функции (рис. 8).

Рис. 8 Рис. 9