Экстремум функции двух переменных. 11. Необходимые условия экстремума функции :

11. Необходимые условия экстремума функции :

12. Достаточные условия экстремума функции :

а) если и , то – точка максимума;

б) если и , то – точка минимума;

в) если , то не является точкой экстремума;

г) если , то может быть или не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

Здесь , где , , .

13. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области, ограниченной данными линиями, надо сначала найти критические точки этой функции, расположенные внутри данной области. Для этого надо решить систему и выбрать среди решений те точки, которые лежат внутри области. Затем надо исследовать поведение функции на границе области. На каждом отрезке границы (не обязательно прямолинейной) можно выразить одну из независимых переменных через другую и, подставив то выражение в функцию , получить как функцию одной переменной. Найдя все критические точки на границе области, сравниваем значения функции во всех критических точках (внутри и на границы области) и в угловых точках границы. Выбираем из этих значений наибольшее и наименьшее.