Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть - векторы пространства R; - скаляры, тогда вектор называется линейной комбинацией векторов .
Если вектор равен нулю тогда и только тогда, когда все числа , то говорят, что векторы линейно независимы.
Если вектор равен нулю и среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то говорят, что векторы линейно зависимы.
Теорема 1. | Если векторы , принадлежащие пространству R, линейно зависимы, то по крайней мере, хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. |
Пространство R называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов и не существует большего числа линейно независимых векторов.
Совокупность n линейно независимых векторов n мерного пространства R называется базисом этого пространства.
Если нам задана в трехмерном пространстве система декартовых прямоугольных координат, то вместе с нею мы будем рассматривать тройку векторов, которую обозначим символами . Эти векторы определяются следующими условиями:
1) вектор лежит на оси , вектор – на оси , вектор – на оси ;
2) каждый из векторов направлен на своей оси в положительную сторону;
3) векторы - единичные, т.е. .
Любой вектор в пространстве может быть выражен через при помощи линейных операций. Представление вектора в виде суммы называется разложением вектора по базису . Числа называются коэффициентами этого разложения; векторы называются составляющими (или компонентами) вектора по базису .
Теорема 2. | Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , т.е. может быть представлен в виде Коэффициенты этого разложения определяются как проекции вектора на координатные оси, т.е. , , . |
Замечание. Разложение векторов можно производить не только по базису .
Замечание. Три вектора , , могут являться базисом пространства , если определитель, составленный из координат этих векторов будет не равным нулю, т.е.
.
Теорема 3. | Каким бы ни был вектор , он всегда может быть выражен в виде линейной комбинации векторов , т.е. . Такое выражение вектора называется разложением его по базису . |
Например, если требуется разложить вектор по базису , , , т.е. представить в виде: , следует выполнить такие действия:
1) проверить, действительно ли векторы образуют базис в пространстве , т.е.
;
2) Найти из системы
3) Представить в виде (в базисе вектор будет иметь координаты ).
Пример 2.1. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение.
1) .
Определитель не равен нулю, т.е. векторы образуют трехмерный базис.
2) Для вычисления координат вектора в этом базисе составим систему линейных уравнений:
Отсюда,
, , .
3) Таким образом, . То есть вектор в базисе имеет координаты: .
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1307 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!