Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном обрезке , т.е. функция определена для произвольного .

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :

.

Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

2) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Пример. Вычислить .

Решение. По определению Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом

, где .

Пример. Вычислить .

Решение. .

Интеграл расходится.

В курсе теории вероятности встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, что .