Оператор Лапласа

Дифференциальные операции второго порядка возникают в результате двукратного применения к полям оператора «набла».

Если в области G задано скалярное поле , то операция взятия градиента порождает векторное поле: . В векторном поле операция взятия дивергенции порождает скалярное поле: , а операция взятия ротора - векторное поле .

Если в области G задано векторное поле , то операция взятия дивергенции порождает скалярное поле: . В скалярном поле операция взятия градиента порождает векторное поле: .

Если в области G задано векторное поле , то операция взятия ротора порождает векторное поле . Применяя повторно к этому полю оператор , получим скалярное поле и векторное поле .

При помощи оператора Гамильтона основные понятия теории поля можно записать в виде операций векторной алгебры.

Рассмотрим некоторые операции второго порядка

1. Вихревое поле является соленоидальным: .

Раскроем смешанное произведение, учитывая, что векторное произведение одинаковых векторов равно нулю: .

2. Векторное поле является безвихревым, так как Действительно, .

3. Рассмотрим операцию .

= .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальный оператор вида называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя:

= .

Уравнение вида называется уравнением Лапласа и является одним из основных уравнений математической физики. Непрерывное решение уравнения Лапласа u (x, y, z) называется гармонической функцией. Соответствующее скалярное поле называется гармоническим или лапласовым.

Векторное поле является гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным: ; .

Рассмотрим операцию .

Формула двойного векторного произведения дает: {формула «бац минус цаб»}. Тогда .

Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу.

	Скалярное поле	Векторное поле

Например, законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

; ; ; .

Иначе:

(1),

(2);

(3),

(4).

В данном случае нет зарядов и токов, а , - векторы напряжённости электрического и магнитного полей; , - электрическая и магнитная проницаемость; c - скорость света.

Если продифференцировать (1) по и подставить из (3), то получим

или .

Преобразуем правую часть по формуле: .

Итак, для векторного поля имеем уравнение .

Это одно из основных уравнений математической физики, называемое волновым уравнением.