Задачи с решениями. Задача 1. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению вектора , если

Задача 1. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению вектора , если

Решение. Производная скалярного поля в точке по направлению вектора равна

вычислим

,

,

,

Ответ:

Задача 2. Найдите угол между градиентами скалярных полей и в точке , если

Решение. Градиент скалярного поля

вычислим

Таким образом,

Градиент скалярного поля

Вычислим

Таким образом,

Вычислим косинус угла между градиентами скалярных полей и

Ответ: 0.

Задача 3. Найдите векторные линии в векторном поле .

Решение. Векторные линии для векторного поля описываются системой дифференциальных уравнений или Интегрируя, получаем то есть векторные линии этого поля представляют собой эллипсы с центрами на оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Ответ:

Задача 4. Найдите поток векторного поля через часть поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями), если

Решение

Поток векторного поля через часть поверхности сферы радиусом с центром в начале координат, ограниченную плоскостью вычислим как разность потока через замкнутую поверхность, состоящую из полусферы и ограничивающей ее плоскости и потока через данную часть плоскости.

Для вычисления потока воспользуемся теоремой Гаусса – Остроградского:

здесь - полученная полная поверхность, - ограниченное ею тело (полушар).

Вычислим откуда

Вычислим поток через круг, лежащий в основании полушара , в направлении внешней к полушару нормали :

Ответ:

Задача 5. Найдите поток векторного поля через часть плоскости , расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ), если

Решение. Запишем уравнение плоскости "в отрезках": Из него видно, что точки пересечения плоскости с координатными осями есть

где - часть плоскости расположенная в первом октанте,

- единичный вектор нормали к плоскости . Запишем уравнение плоскости в виде тогда

(Нормаль образует острые углы с осями координат, поэтому следует выбрать знаки "+" во всех случаях.) Отсюда

Произведем проецирование на координатную плоскость , поэтому

Ответ:

Задача 6. Найдите поток векторного поля через часть плоскости расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), если

Решение

перейдем к двойному интегралу по области в плоскости (см. задачу 5)

, перейдем к повторному интегралу

Ответ:

Задача 7. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя), если

Решение Уравнение плоскости "в отрезках"

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

вычислим поэтому

Ответ: -8.

Задача 8. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если

:

Решение. Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали

где

- тело, ограниченное замкнутой поверхностью (общей частью пары однополостных гиперболоидов); вычислим поэтому

Ответ:

Задача 9. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если

Решение. Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали

вычислим

поэтому

Ответ:

Задача 10. Найдите работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке , если

,

Решение.

Уравнения кривой в параметрическом виде Работа силы при перемещении вдоль линии от точки к точке

. Перейдем к параметрическому заданию кривой : . Подставим значение равное 2. Тогда

Ответ:

Задача 11. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра ), если

Решение. Линия - замкнутая, с периодом проекция линии на плоскость представляет собой окружность радиусом 2 с центром в начале координат.
,
перейдем к параметрическому заданию кривой :

Ответ:

Задача 12. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура , если

Решение.

Первый способ. Перепишем уравнение кривой в виде

или, в параметрическом виде,

Тогда

(Здесь мы учли, что z=0).

Ответ: 0.

Второй способ

Перепишем уравнения, задающие кривую в виде воспользуемся теоремой Стокса:

Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора через поверхность , ограниченную этим контуром

Ц= .

Вычислим

Отсюда

так как Таким образом,

Ответ: 0.