Формула Грина

Пусть в односвязной плоской области D, имеющей границу L, задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , тогда = , при этом контур обходится так, чтобы область D оставалась слева.

Доказательство:

Рассмотрим формулу Стокса для данного случая:

= .

: , ; ; откуда следует = .

Область D может быть и неодносвязной. В этом случае под линейным интегралом понимается сумма по всем компонентам границы D.

В некоторых случаях формула Грина позволяет упростить вычисление циркуляции векторного поля.

ПРИМЕР . Вычислите циркуляцию вектора

по контуру L: x ² + y ² = R ².

Тогда: C = .

=

= .

С = = = =

= =

= =

= .