Теорема Стокса

(устанавливает связь между циркуляцией и ротором)

Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля по произвольному кусочно-гладкому контуру L вычисляется по формуле

=

+ + .

При этом выбор стороны поверхности и направление обхода контура L согласованы (по правилу винта).

Доказательство:

Для доказательства сгруппируем слагаемые в правой части с одинаковыми координатами вектора :

= +

+ +

+ .

Рассмотрим первый из интегралов:

= .

Пусть поверхность является такой, что любая прямая пересекает ее лишь в одной точке, тогда : ; ; , тогда , так как ; . Переходя к двойному интегралу по D_xy: , получим

.

По формуле дифференцирования сложной функции, записывая полную производную сложной функции, имеем:

,

= = +

+ = .

Докажем последнее преобразование.

…

{пусть L задана параметрически}…

= =

…{ }…=

= .

Остальные два слагаемых рассматриваются аналогично. Почленное суммирование этих выражений приводит к формуле Стокса.

1). Используя обозначение ротора, формулу Стокса можно переписать в векторном виде: = . Поток вектора через ориентированную поверхность равен циркуляции поля по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией .

2). Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочно-гладкому контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Стокса: .

ПРИМЕР . Вычислите циркуляцию вектора по контуру L:

,

Решение:

=

= - 4 +8 = 4 +8 =

= ;

= = = =

= =…

} = = = = = =

= .

Инвариантное определение ротора

Ранее было дано определение ротора , справедливое лишь в декартовой системе координат.

Теорема Стокса позволяет дать инвариантное (независящее от системы координат) определение ротора векторного поля.

Пусть - векторное поле, удовлетворяющее теореме Стокса; - некоторое фиксированное направление, проходящее через точку М;
D - плоская область величины , охватывающая точку М, а L - граница области D. Направления обхода контура L и ориентация области D согласованы в соответствии с теоремой Стокса:

= или = .

По теореме о среднем М ₁: .

Тогда . Будем стягивать контур L в точку М, тогда точка M ₁ → M и = . Поскольку - средняя поверхностная плотность циркуляции поля по площади S_{D ,} то проекция на правление не зависит от выбора систем координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора по контуру L, который стягивает площадку, перпендикулярную этому направлению.