Площадь поверхности

Пусть - незамкнутая гладкая поверхность. Разобьем ее на участки , (), с помощью сети кривых. Выберем в каждом участке точку . Проведем в точке касательную плоскость к поверхности и спроектируем на касательную плоскость. На проекции получим плоскую фигуру с площадью .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности называется предел суммы площадей () при условии, что диаметры всех частей разбиения стремятся к нулю: .

Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Пусть поверхность задается явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в плоскую область на координатной плоскости . Нормаль к поверхности , как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет компоненты: , и направляющие косинусы нормали равны:

_,

_,

_.

Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу нормали с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности .

Спроектируем элементы на касательной плоскости на координатную плоскость ; площадь проекции

.

Следовательно,

,

и предел, фигурирующий в определении площади поверхности , представляет собой двойной интеграл по области

.

Если уравнение поверхности дано в виде или , то площадь может быть представлена как

или

,

где и - проекции поверхности на плоскости и .