Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода

Вычислим . Пусть , а поверхность задана уравнением Лемма. Площадь проекции плоского участка одной плоскости на другую равна площади самого участка, умноженной на модуль косинуса двугранного угла между плоскостями: . Доказательство: (поскольку , косинус берется по модулю). Пусть требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности . Область является проекцией поверхности на плоскость . Через точку проведем касательную плоскость. Ее уравнение: . Выберем часть поверхности и спроектируем ее на касательную плоскость. Обозначим проекцию Будем считать . Обозначим - нормаль к плоскости: . Поскольку - нормаль к , то угол - угол между касательной плоскостью и плоскостью , он равен углу между векторами и .

Найдем связь между (проекцией на плоскость ) и

;

в пределе при ;

;

.

Так записывается поверхностный интеграл, если поверхность задана уравнением

Если поверхность задана уравнением то

.

Аналогично, если то

,

где - проекции на плоскости .

Итак, для поверхности , в каждой точке которой задана функция: , если поверхность однозначно проектируется на плоскость в область и задана уравнением , то

.