Поверхностный интеграл 2-го рода

Рассмотрим ориентированную поверхность . Спроектируем элемент поверхности на координатную плоскость . Составим интегральную сумму произведений значений функции в произвольной точке на величину площади проекции части на координатную плоскость :

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции по определенной стороне поверхности и обозначается:

.

Знак (+) соответствует положительной (внешней), а (–) отрицательной (внутренней) сторонам поверхности.

Если на данной поверхности заданы другие функции , , то проектирование на другие координатные плоскости дает интегралы:

.

Соединение этих интегралов дает общее выражение для поверхностного интеграла 2-го рода:

.

Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода существует следующая связь:

,

причем при интегрировании по положительной стороне поверхности:

,

а по отрицательной: .

Поверхностные интегралы 2-го рода обладают всеми свойствами двойных интегралов.

Поверхностный интеграл 2-го рода может быть также записан в более компактном виде. Пусть , где , , - векторное поле. Составим для координат этого вектора поверхностный интеграл 2-го рода.

.

Так как , - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности , то .

Вводя - векторный элемент площади, направленный по нормали и имеющий длину , получаем .