Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры

Инт-лы вида рационализируются с помощью универсальной тригонометр. подстановки t=tg . Выразим осн. тригоном. ф-ции через t, т.е. с помощью унив. триг. подст.

;

; ; ;

Пр:

19.Св-ва опред. И:теорема об интегрировании нерав-в,теоремы об оценке И.

Теорема об интегрир.нерав-в: если в люб.т.Хотр [а;в] выполн.нерав.f(х)≤g(х), т ф-цииf(x) и g(x),интегрируемые на отр. [а;в] и выполн.нерав. .

у

х

y=g(x)

y=f(x)

S1

S₁≤S_2.Теоремы об оценке И:1)если на отр.[а;в]

ф-ция удов. нерав. m≤f(x)≤M,то опред.И

удов.нерав.m(в-а)≤ .

Док-во: проинтегр.наотр[а;в] всё нерав: .Но по св-ву линейности в лев и прав И выносим mи M за И: m(в-а)≤ ≤M(в-а) 2)если y=f(x) интегрируема на отр[а;в],│ │<

20.Теорема о среднем.Её геометр. и эк.интерпритац.

Если ф-ция у=f(x)непрерыв. на отр[а;в],,то на нём сущ.т.С,такая,что И . Док-во:т.к. ф-ция,непрерыв.наотр[а;в],достиг. на нём своего наим. и наиб. знач.,кот. мы обознач. соотв. mи M,то m≤f(x)≤M. На основании теор.об оценке И (1): m(в-а)≤ ≤M(в-а)

Разделим обе части на вел-ну (в-а)>0.Имеем:m≤ ≤M. Число заключено м/дуmaxи minзнач. ф-ии на отр[а;в],а т.к.ф-циянепрерыв. на этом отр.,то на нём она приним.всезнач.,заключ. м/дуm и M=>на этом отр.найдётсявнутр. тС,в кот. f(C)= .

h AQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4 /SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQCU OcG73wEAAOEDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAA IQDUazUD2QAAAAUBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAADkEAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQA BADzAAAAPwUAAAAA " strokecolor="#4579b8"/>

у=f(x)

f(C)

а с в

f(C)(в-а)=Sпрямоуг.; =Sкриволинейн.трап. ТО суть теоремы в том,что на отр.[а;в]для у=f(x) найдётся т.С,такая,чтоSпрямоуг.,постр.на высоте f(С)и ширине (в-а),равновелика Sкр.трап,пост. С помощью у=f(х),прямых х=а,х=в и отр.[а;в].В эк.эта теорема нашла своё применение для нахожд.сред.изд.пр-ва(АС= ),где К(х)-ф-ция,задающая изд.пр-ва,где х- Vвып.прод-цыи.