Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением

(56)

В сечениях горизонтальными плоскостями , где , получим линии

, где .

Таким образом, в сечениях плоскостями образуются эллипсы с полуосями и . При увеличении от нуля до бесконечности полуоси эллипса неограниченно увеличиваются. Наименьшие полуоси, равные и , имеет эллипс, расположенный на плоскости .

Пусть , где . В сечениях образуются линии

(1)

Если , то . Тогда на плоскости , получим гиперболу , где с действительной полуосью и мнимой .

Так как действительная полуось расположена на прямой, параллельной оси , а мнимая – параллельной оси , то гипербола (1) ориентирована вдоль оси .

Если , то . Тогда на плоскости получим гиперболу , где с действительной полуосью и мнимой .

Заметим, что действительная полуось расположена на прямой, параллельной оси , а мнимая – параллельной оси . Следовательно, гипербола (1) сменила свою ориентацию.

Если , то . Тогда из уравнений (1) получим

Û . (2)

Рис.34

Уравнения (2) определяют пару пересекающихся прямых.

Итак, в сечениях вертикальными плоскостями , где , образуются или гиперболы, изменяющий свою ориентацию, или пары пересекающихся прямых.

В сечениях вертикальными плоскостями , где , образуются так же, как и в сечениях , либо гиперболы, либо пара пересекающихся прямых (исследовать самостоятельно). Полученные сечения позволяют построить искомую поверхность (рис.34).