Эллиптический параболоид

Пусть задано уравнение , где , (55)

Являющееся частным случаем уравнения (51). Изучим вид поверхности, соответствующий уравнению (55), методом сечений.

Рассмотрим сечения поверхности горизонтальными плоскостями , где . В сечении, в общем случае, получим линию:

(1)

Так как по условию и , то при любых значениях и . Следовательно, при горизонтальные плоскости не пересекают поверхность. При , т.е. на плоскости , получим точку . При на плоскости получим линию

, (2)

где .

Уравнение (2) на плоскости определяет эллипс с полуосями и . Следовательно, в сечениях горизонтальными плоскостями , где , образуются эллипсы с полуосями и . Заметим, что при увеличении от 0 до полуоси эллипса неограниченно увеличиваются.

Рассмотрим сечение вертикальной плоскостью , где . В сечении получим линию:

(3)

Уравнение на плоскости определяет параболу с осью симметрии , параметром и вершиной, нанаходящейся в точке . Следовательно, на плоскости при любых занчениях также получим параболу с параметром, равным , вершина которой находится в точке . Заметим, что при увеличении от 0 до вершина параболы неограниченно поднимается над плоскостью .

Итак, в сечениях вертикальными плоскостями при любых значения образуются параболы.

Аналогичные параболы образуются в сечениях плоскостями (доказать самостоятельно).

	Рис.33

Так как в сечениях вертикальными плоскостями и образуются параболы, а в сечениях горизонтальными плоскостями образуются эллипсы, то поверхность (рис.33), определяемая уравнением (55), названа эллиптическим параболоидом.

Заметим, что если в уравнении (55) , то в сечениях горизонтальными плоскостями образуются окружности. Следовательно, уравнение определяет парболоид вращения с осью симметрии .