Угол между плоскостями

Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости

и .

Коэффициенты и уравнения плоскости являются проекциями нормального вектора к этой плоскости. Следовательно, один из смежных двугранных углов между плоскостями и равен углу между нормальными к этим плоскостям векторами:

и (рис.23).

			y
	x

Тогда

. (37)

По формуле (37) определяется один из смежных углов между данными плоскостями.

Следствие 1. Если плоскости и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны. Тогда

. (38)

Условия (38) называются условиями параллельности двух плоскостей.

Следствие 2. Если плоскости и перпендикулярны, то в (37) угол . Тогда . Следовательно, и

. (39)

Условие (39) называется условием перпендикулярности двух плоскостей.

ПРИМЕР 19.1. Определить, при каком значении плоскость перпендикулярна плоскости .

Решение. Векторы являются нормальныи векторами к данным плоскостям.тогда согласно условию (39) плоскости взаимно перпендикулярны, если .

Ответ: 6.

ПРИМЕР 19.2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости .

Решение. Искомая плоскость проходит через заданную точку , тогда ее уравнение, согласно формуле (34), запишется в виде

.

Искомая плоскость параллельна заданной плоскости. Тогда из условия параллельности двух плоскостей (38) получим

. Отсюда .

Подставляя найденные коэффициенты в предыдущее уравнение, найдем уравнение искомой плоскости

.

20. Прямая в пространстве . Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой.

Положение прямой в пространстве может быть определено заданием:

1) любых двух точек;

2) ее точки и вектора , параллельного этой прямой;

3) 0

Поставим задачу определения уравнения прямой в каждом из этих случаев.

Пусть в пространстве дана точка и вектор . Тогда через точку параллельно вектору проходит единственная прямая . Для определения ее уравнения выберем в произвольную точку и построим векторы

.

	z

Согласно определению суммы векторов получим

(рис.24).

Пусть точка , тогда векторы и коллинеарны. Следовательно, , где - параметр, принимающий любое значение из в зависимости от положения точки на прямой . Тогда для точки имеем

, где . (40)

Если точка , то векторы и не коллинеарны.

Следовательно, для таких точек равенство (40) не выполняется ни при каких . Итак, уравнение (40) является векторным уравнением прямой, а вектор называется направляющим вектором прямой. Воспользовавшись координатами векторов из (40), получим

Û

(41)

Уравнения (41) называются параметрическими уравнениями прямой с параметром в пространстве .

Исключая параметр из уравнений (41), найдем, что

. (42)

Уравнения (42) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве .

Замечание. В уравнении (42) условились считать, что числа и могут принимать любые значения, кроме одновременного равенства и нулю. В частности, если уравнение (423) имеет вид , о это уравнение есть уравнение прямой, перпендикулярной оси . Действительно, при направляющий вектор перпендикулярен оси . Следовательно, и параллельная вектору прямая перпендикулярна этой оси. Если же уравнение (42) имеет вид ,то это уравнение является уравнением прямой, перпендикулярной плоскости.

ПРИМЕР 20.1. Определить, лежит ли точка на прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Найдем уравнения прямой в канонической форме. Полагая , получим .

Подставляя в эти уравнения координаты точки , найдем .

Следовательно, точка принадлежит прямой .