Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осями координат

Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат и с центрами в точках и и соответственно параллельными осями координат (рис.17).

Пусть точка в системе имеет координаты . Выберем на плоскости произвольную точку и обозначим ее координаты через и в соответствующих системах и . Поставим задачу установления формул связи между координатами точки в старой () и новой () системах координат. Очевидно, что в системе вектор , вектор . В системе вектор .

Согласно правилу сложения векторов

или (22)

Формулы (22), связывающие между собой старые и новые координаты точки плоскости, называются формулами параллельного переноса системы координат. Пусть теперь на плоскости задан эллипс с полуосями и , центр которого находится в точке , а оси симметрии параллельны осям координат и . Требуется найти уравнение эллипса. Введем новую систему координат с помощью параллельного переноса системы , расположив ее начало координат в центре эллипса (рис.18). Тогда в новой системе каноническое уравнение эллипса запишется в виде . Из (22) найдем, что . Тогда в заданной системе координат уравнение эллипса примет вид

. (23)

Уравнение (23) является уравнением эллипса с полуосями и , центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям.

Решая аналогичным образом задачу относительно уравнения гиперболы с центром в точке , с осями симметрии, параллельными осям координат, с действительной полуосью, равной , мнимой, равной , получим уравнение

. (24)

Аналогично найдем, что уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси абсцисс, вершина которой находится в точке , а ее параметр равен , имеет вид

. (25)

Если же ось параболы параллельна оси ординат, то

. (26)