Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Положение плоскости в пространстве вполне определяется заданием:

1) любых трех точек, не лежащих на одной прямой;

2) точки плоскости и вектора , перпендикулярного .

z

Найдем уравнение плоскости в каждом из перечисленных случаев ее задания. Пусть в пространстве дана точка и вектор (рис.21). Требуется найти уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору .

	M0

		M
				y
	x

Выберем в произвольную точку и построим вектор

.

Рассмотрим два случая:

1) если точка , то ^ Þ Û

Û ; (34)

2) если точка , то

^ Þ Û .

Из случаев 1) и 2) и определения уравнения поверхности следует, что уравнение (34) есть уравнение искомой плоскости . Уравнение (34) называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору. Вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором этой плоскости.

ПРИМЕР 16.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение искомой плоскости будем искать в форме . Полагая в уравнении (34) , получим .