Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат

Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида

. (27)

Покажем, что уравнение (27) в зависимости от значений коэффициентов на плоскости определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых, точку или мнимую кривую.

1. Пусть .

Преобразуем уравнение (27), дополнив до полного квадрата члены, содержащие переменные и :

Введем обозначения, положив

. (28)

Тогда предыдущее уравнение запишется в форме

. (29)

Пусть , тогда .

Это уравнение определяет на плоскости единственную точку . Пусть . Тогда уравнение (29) можно записать в форме

.

Из сравнения этого уравнения с уравнением (23) следует, что это уравнение эллипса, а значит и уравнение (27) определяет эллипс с центром в точке и полуосями , где определяются равенствами (28).

В частности, при уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом .

Если же в уравнении (29) , то оно не удовлетворяется ни при каких значениях и . Следовательно, уравнение (27) не определяет кривой на плоскости (или говорят: определяет мнимый эллипс). Итак, уравнение (27) при на плоскости определяет либо эллипс, либо окружность, либо точку, либо мнимый эллипс.

2. Пусть .

Вновь, дополняя до полного квадрата слагаемые, содержащие переменные и , из (27) получим

, (30)

где определяются равенствами (28).

Если , то

.

Эти уравнения определяют пару пересекающихся прямых. Если , то уравнение (30) можно записать в форме

.

Это уравнение также определяет гиперболу с центром в той же точке , но с действительной полуосью , расположенной на прямой параллельной оси и мнимой полуосью , расположенной на прямой, параллельной оси .

Итак, уравнение (27) при определяет на плоскости либо гиперболу, либо пару пересекающихся прямых.

3. Пусть .

Выполняя те же преобразования, что и в предыдущих случаях, можно показать, что уравнение (27) определяет либо параболу с осью симметрии, параллельной оси , либо пару параллельных прямых, либо мнимое место точек (доказать самостоятельно).

4. Если .

В этом случае уравнение (27) определяет либо параболу с осью симметрии, параллельной оси , либо пару параллельных прямых, либо мнимое место точек.

ПРИМЕР 13.1. Определите вид линии, заданной уравнением , и изобразите эту линию на чертеже.

Решение. Сравнивая данное уравнение с общим уравнением кривых второго порядка, найдем, что . Так как , то, согласно случаю 2, данное уравнение определяет либо гиперболу, либо пару пересекающихся прямых.

Дополняя до полного квадрата слагаемые, содержащие переменные, получим

Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . С центром в точке построим основной прямоугольник гипрболы со сторонами (рис.19). диагонали этого прямоугольника являются асимптотами гиперболы. Так как прямые проходят через точку и имеют угловые коэффициенты , то уравнения асимптот найдутся по формулам или . Отсюда при и получим . Или и .

Рис.19

Вершины гиперболы при и располагаются в точках . Найдем координаты фокусов и гиперболы. Вычислим . Так как , то фокусы расположены в точках и . Эксцентриситет гиперболы . Используя полученные результаты, построим искомую гиперболу (рис.19).

Заключение. В разделе 13 рассмотрены наиболее простые случаи расположения кривых второго порядка на координатной плоскости. В специальных курсах аналитической геометрии доказывается, что алгебраическое уравнение при любых старших коэффициентах и всегда определяет либо окружность, либо эллипс, гиперболу, параболу, либо вырожденную кривую (точку, прямые, мнимые кривые).