Предел последовательности

Опр. Последовательностью точек Т.П. (Х, τ) наз отображение N→X, n--> . Запись .

Говорят что сходится к точке х€Х для любой окрестности U точки х существует p€N такое что для любого n>p € U, где х - предел последовательности.

Зам. В хаусдорфовом ТП Х любая последовательность может иметь не более одного предела.

□От противного: Допустим →х, →у, х≠у, U,V!?

Зам. Если Т.П. Х метризуемо метрикой ρ и →х то ρ(,х)→0

Замыкание мн-ва

Опр. Пусть (Х, τ) – Т.П. А – подм-во Х. Точка х€Х наз. близкой к А, если для любой окрестности U точки х верно: U∩A≠ Ø Совокупностью всех близких к мн-ву А точек наз. замыканием мн-ва А и обозн.:

Св-ва замыкания:

1)Замыкание мн-ва А есть наименьшее по включению замкнутое мн-ва содержащее А.

□Покажем что замкнуто в Х. Рассмотрим G=X\ , пусть х € G. Существует окрестность точки х такая что U∩A≠ Ø. Покажем что U∩ ≠ Ø От противного. Допустим существует z € U∩ => U-окрестность z и z € => U∩A≠ Ø!?. Таким образом для любого х€ G существует окрестность являющаяся под-вом G=> Gоткрыто в Х => замкнуто в Х. Пусть A под-во F, F замкнуто в Х, Покажем что под-во F. Рассмотрим произвольную х не принадл. F. Точки U=X\F –окрестность точки х и U∩A= то есть х не принадлежит █

Следствие: пересечение всех замкнутых мн-тв содержащих А

2)А замкнуто в Х↔ =А

□=>1)очевидно<=2)А= , замкн в Х=>А замкн в Х█

3)Пусть Х-метризуемо. Тогда х€ ↔существует последовательость точек А сходящаяся к х.

□=>)х€А, для любого ε>0, (х,ε)∩A≠ для любого n€ N существует € (х, )∩A, получили последовательность такую что ρ(,х)< => àx.

<=)Рас-им для любой окр U точки х существует p€N такое что для любого p≤n, € U=>U∩A≠ Ø █

Следствие: Подмножество метризуемого праст. замкнуто ↔ когда вместе с каждой сходящейся последовательностью точек оно содержит и ее предел.

№10. Внутренность множества в топологическом пространстве и её св-ва (в том числе характеристика открытых множеств, через понятие внутренности)

Определение. Пусть -топологическое пр-во. называется внутренней т. Мн-ва A если Ǝ окрестность U т-ки . Совокупность всех внутренних точек мн-ва A называется внутренностью мн-ва A и обознач. .

Свойства: Пусть X топологическое пр-во

1) Внутренность A есть наибольшее по включению открытое мн-во пр-ва X содержащееся в A.

(Т.е. )

2)

a

b

Примеры:

1) Рассм.

2)) Рассм.

a

b

3) Рассм.

n=2

№

{Задачи.

Пусть X- топологическое пр-во подмн-ва X

2) }-возможно не надо

№11. Граница множества в топологическом пространстве и её св-ва (в том числе формула связывающая замыкание, внутренность и границу множества)

Определение. Пусть X-топологическое пр-во. подмн-во X. Точка называется граничной точкой множества A если окр. U т-ки x выполняется . Совокупность всех границ точек мн-ва A, называется границей мн-ва A и обозначается .

Свойства границы: Пусть X топологическое пр-во

1)

2)

3)

4)

a

b

Примеры:

1) Рассм.

2) Рассм. В n=2

№12. База топологического пр-ва. Утверждение, характеризующее базы. Локальная база пр-ва в данной точке. Первая и вторая аксиомы счётности и связь между ними. Первая аксиома счётности и метризуемость. Аксиомы счётности и подпространства.

Определение 1. Пусть -топологическое пр-во. Семейство называется базой пр-ва X, если любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения некоторого подсемейства семейства P.

Утверждение 1. Пусть -топологическое пр-во. Семейство явл. базой пр-ва X ⇔

Следствие. Если топологическое пр-во X метризуемо метрикой ρ то

Пример:

Определение 2. 1) Пусть X-топологическое пр-во, . Семейство - окрестностей т-ки x наз. локальной базой пр-ва X и в т.x если окр. U т-ки

2)Если в каждый т-ке пр-ва X Ǝ конечная или счётная локальная база, то говорят, что X удовлетворяет 1-ой аксиоме счётности.

Замечание. Из утверждения 1 следует, что если

явл. локальной базой пр-ва X в т-ке x.

Поэтому, если в X cущ. конечная или счётная база то X удовлетворяет 1-ой аксиоме счётности. Если в пр-ве X существует конечная или счетная база то говорят, что X удовл. 2-ой аксиоме счётности.

Пример. Рассм. ℝ. Пусть -счётно. Пок-ть что -база. Воспольз. Утв.1. Пусть

x

Утверждение 2. метризуемое топологическое пр-во X удовлетворяет 1-ой аксиоме счётности.

Пусть ρ-метрика, согл. с тополог. X. Рассм.

Утверждение 3. Пусть X-топологическое пр-во, A-подпр-во пр-ва X,

1) Если

2) Если

1) Пусть . G можно представить в виде:

2) Аналогично.

Следствие. Если топологическое пр-во X удовлетворяет 1 и 2 аксиомам счетности, то этим же свойством обладает и любое его подпространство.

13.Всюду плотные множества в топологических пространствах. Сепарабельность. Связь между сепарабельностью и второй аксиомой счетности. Пример: существование счетной базы в

Опр.: 1) пусть X-топологическое пространство, множество A X называется всюду плотным, если 1/A=X; 2)X – сепарабельно, если в X конечное или счетное всюду плотное множество.

Замечание: пусть X – топологическое пространство, A X. A – всюду плотное в Х точки х∈Х ∀ окрестности U точки х U A .

Теорема: 1) Любое топологическое пространство, удовлетворяющее 2-ой аксиоме счетности, сепарабельно. 2) Сепарабельность метризуемого топологического пространства удовлетворяет 2-ой аксиоме счетности

1) пусть В – конечная или счетная база в Х. В={ | n∈N} ∀ n∈N fix ∈ и рассмотрим А={ }, А-не более чем счетно. Если U открыто в Х, то U∩A≠∅, таким образом А – всюду плотно. 2) Пусть Х-метризуемо метрикой β и пусть А={ |n∈N} всюду плотно в Х, рассмотрим β={ . Рассмотрим точку х∈Х и ∀ окрестность U точки Х. (x, ) ⊆U, выберем k∈N| 1/k< /2, то есть (x,1/k) ⇒x Покажем, что , ρ(x, )<1/k, ρ(,y)<1/k

Прим.: имеет счетную базу. ( счетная база в

Утверждение: Любое подпространство сепарабельно метризуемого пространства сепарабельно.

Пусть А – подпространство сепарабельно метризуемого пространства Х. Т.к. Х – сепарабельно и метризуемо, в Х есть счетная база⇒ в А есть счетная база ⇒А-сепарабельно.

Замечание: подпространство сепарабельно неметризуемого пространства может не быть сепарабельно.