![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Т. П. Х наз. хаусдорфовым если у любых двух различных точек этого пространства существуют непересекающиеся окрестности.
Теорема. Любое метризуемое Т. П. Х – хаусдорфово. Кроме того у любых 2-ух не пересекающихся замкнутых под-тв метризуемого про-ва Х существуют непересекающиеся окрестности.
□Пусть ρ- метрика, согл. с топологией пр-ва Х:
1)Хаусдорфовость. Рассмотрим х,у € Х, х≠у. Пусть r=ρ(х,у) Покажем что (х,
)∩
(у,
)=Ø
От противного: Допустим существует z € (х,
)∩
(у,
); ρ(х,у)≤ ρ(х,z)+ ρ(z,у)<r; r<r WTF!?
2)Пусть F замкн-ое под-во Х, Φ замкн под-во Х, F∩Φ= Ø,для любого х€F, существует >0 такое то
(х,
)∩Φ= Ø и существует
>0 такое что
(у,
)∩F= Ø Пусть U=
, V=
; F под-во U,U открытое под-во Х; Φ под-во V,V открытое под-во Х. Покажем что U∩V= Ø.От противного: Допустим существует z € U∩V => сущ x € F и y € Φ такие что z€
∩
. Пусть
тогда ρ(х,у)≤ ρ(х,z)+ ρ(z,у)≤
+
≤
; ρ(х,у)≤
; х €
)!?█
Замечание: 1)Т.П. Х наз. -про-вом если для любого х€Х,{x} замкн в Х, любое хаусдорфаво пр-во есть
пр-во.
2)Т.П. Х наз. нормальным если Х есть про-во и в любых 2-ух не пересекающихся замкнутых под-ств Х существует не пересек. окрестн. Любое метризуемое про-во не только хаусдорфово, но и нормальное.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 207 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!