Замкнутые множества в топологическом пространстве и их свойства

Опр. Пусть Х- топологическое пространство; Множество F Х называется замкнутым, если его дополнение Х\F открыто. F Х(под знаком указать cl)-F является замкнутым множеством пространства Х.

Замечание. Пусть Х- топологическое пространство F Х.

1)F Х(под знаком указать cl) F=X\U, где U Х(под знаком указать op).

2) F Х(под знаком указать cl) т. x F окр. V_x | V_x F=Ø.

Утверждение. Пусть Х-топологическое пространство.

Свойство 1. Ø и Х замкнуты.

Свойство 2. Объединение любой конечной совокупности замкнутых множеств, является замкнутым множеством.

Свойство 3. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств, является замкнутым множеством.

□ 1) Ø=Х\Х, Х-открытое Ø-замкнутое. Х=Х\Ø, Ø-открытое Х-замкнутое.

2) Пусть F=F₁ .. F_n, где i n F_i U (под символом указать ор) X.

X\F=(X\F₁) .. (X\F_n) i =1,n X\F_i U (под символом указать ор)X (аксиома2: Пересечение любой конечной совокупности множеств из τ, принадлежит τ. ) X\F (под символом указать ор) X

3) Пусть F= (под знаком указать t T) F_t, где t T, F_t (под символом указать cl) X.

X\F= (под знаком указать t T) (X\F_t), t T; X\F_t (под символом указать ор) Х

(аксиома3: Объединение любой совокупности множеств из τ принадлежит τ.) Х\F (под символом указать ор) Х.

Замечание 2. В любом топологическом пространстве Х, Ø и Х являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Множества, которые открыты и замкнуты одновременно, называются открыто-замкнутыми.

6. Подпространства топологического пространства. Индуцированная топология. Замкнутые множества в подпространстве. Примеры: Z как подпространство R. Пример открыто-замкнутого множества в подпространстве Q прямой R.

Опр. Пусть (Х, τ) топологическое пространство, А Х – подмножество из Х. Семейство

τ/_А={ u A| u τ} является топологией на А. Топологической пространство (А, τ/_А ) над подпространством пространства (Х, τ), а топология τ/_А индуцированной топологией.

Таким образом u A выполняется: U А(под знаком указать op). Ũ (под знаком указать op) Х | Ũ(u с волной) A=u.

Замечание 1 Топологическое пространство Х метризуемо метрикой ρ, то произвольное его подпространство А, метризуемо метрикой ρ /_А .

Замечание 2 Пусть (Х, τ)-топологической пространство, B A X. Топология, индуцированная на В из (Х, τ) совпадает с топологией, индуцированной на В из (А, τ/_А ).

Утв. Пусть Х –топологическое пространство, А-подпространство пространства Х, F A. Тогда

F A (под знаком указать cl) множество F(с волной) (под знаком указать cl) Х|

F(с волной) A=F

□

) F (под знаком указать cl)A A\F (под знаком указать op) A Ũ(u с волной) A= A\F.

Пусть F(с волной)=X\ Ũ; F(с волной) (под знаком указать cl)X и F(с волной)) A= F.

F= F(с волной)) A, где F(с волной) (под знаком указать cl)X. Пусть Ũ (под знаком указать op) и Ũ A=A\F A\F (под знаком указать op) A F (под знаком указать cl) A

Следствие Пусть Х-топологическое пространство, А-подпространство Х, В А

1) Если В (под знаком указать op) Х, то В (под знаком указать op) А, если В (под знаком указать cl) Х, то В (под знаком указать cl) А.

2) Если В (под знаком указать op) A, A (под знаком указать op) X В (под знаком указать op) X,

если В (под знаком указать cl) A, A (под знаком указать cl) X В (под знаком указать cl) X.

□ 1) B A B=B A; B (под знаком указать op) X B A (под знаком указать op) A

2) так как В (под знаком указать op) А; В(с волной) В (под знаком указать op) Х|

В(с волной) А=В

В (под знаком указать op) Х

Примеры:

Z как подпространство R.

n-1 n n+1

n ; ={n} {n}

τ ¹|_z=τ^* - дискретная топология.

Пример открыто-замкнутого множества в подпространстве Q прямой R

Рассмотрим пространство как пространство ; М= ; М ; М=[- ; ] ; [- ; ] М ;M-открыто-замкнуто в .