Логарифмическое дифференцирование

Показательно-степенной функцией называется функция вида , где , – дифференцируемые функции и .

Для нахождения производной такой функции ее сначала логарифмируют, а затем дифференцируют полученное равенство.

Логарифмическое дифференцирование применяется также для функций, состоящих из большого числа сомножителей или являющихся отношением произведений нескольких функций.

Примеры.

1. Найти производную функции .

.

2. Найти производную функции .

;

;

.

Замечание. При решении применялись следующие свойства логарифмов:

Дифференциал

К графику непрерывной функции в точке проведем касательную MT, обозначив через j ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. Так как , то из треугольника MEF следует, что .

Введем обозначение .

Это выражение называется дифференциалом функции . Итак .

Замечая, что , т.е. что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, получим

.

Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной.

Из последней формулы следует, что , т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента D х.

Из рисунка видно, что при достаточно малом D х по абсолютной величине можно взять приращение функции приближенно равным ее дифференциалу, т.е.

.

Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов.

Пусть – дифференцируемы в точке х. Тогда