Свойства функций, имеющих предел, понятие о неопределенностях

Вычислить предел функции, изучая поведение последовательности значений аргумента и функции, довольно легко для основных функций, таких, как в их области определения. Вычисления показывают, что в области определения предельное значение функции равно ее значению при предельном значении аргумента:

.

В тех случаях, когда функция имеет сложный вид, т.е. составлена из нескольких других основных функций при помощи конечного числа алгебраических операций, вычисление значений функции может быть весьма утомительным и установление ее предела непосредственно затруднительным. При нахождении предела таких функций пользуются свойствами пределов функций. Сформулируем их без доказательства.

1) Предел постоянной равен самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3) Пусть функции имеют в точке конечные пределы, соответственно равные . Тогда функции

имеют в точке пределы, соответственно равные

В тех случаях, когда либо , либо , либо оба вместе равны , или в частном , применение указанных правил не дает возможности найти предел составной функции. Рассмотрим пример. Пусть

.

Возьмем теперь

.

Рассмотрим и такой вид функций:

,

.

Предел разности двух стремящихся к функций, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Предел частного двух функций, стремящихся к нулю, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Аналогично определяются и другие неопределенности:

.