Пример 1. Вычисление скалярного произведения в декартовом базисе

Пусть , – декартов базис, a =3 i +4 j, b =2 i - j.

Найти скалярное произведение(a, b), длины векторов a и b.

Решение:

(a, b)=(3 i +4 j,2 i – j)=(3 i,2 i – j)+(4 j,2 i – j)=(3 i,2 i)+(3 i, – j)+(4 j,2 i)+(4 j, – j)=

=3*2*(i, i) –3(i, j)+8(j, i) +4*(-1)*(j, j)=6(i, i)+5(i, j)-4(j, j)=3*2+5* –4*1=

=6–4= 2.

если придать вычислениям общий вид: a =a₁ i +a₂ j, b =b₁ i +b₂ j, получим:

- формула для вычисления скалярного произведения в координатной форме.

(a, a)=(3 i +4 j,3 i +4 j)=9(i, i)+24(i, j)+16(j, j)=3*3+24*0+4*4=25.

если придать вычислениям общий вид, получим:

- скалярный квадрат равен квадрату длины вектора.

- длина вектора – корень из суммы квадратов координат вектора.

(b, b)=(2 i - j, 2 i - j)= 4(i, i)-4(i, j)+(j, j)=4*1*1-4*1*1* +1*1=4+0+1=5.

если придать вычислениям общий вид, получим:

.

Ответ. (a, b)=2, , .

Так как базис декартов, то есть состоит из двух единичных взаимно перпендикулярных векторов. То скалярное произведение орта самого на себя будет равно единице, т.к. длины векторов раны единице, и , произведение взаимно перпендикулярных ортов равно нулю.

В косоугольной системе координат решения и ответы будут другие.