Приклад розрахунку

1. Для системи диференціальних рівнянь скласти структурну схему за допомогою методу зниження порядку похідної. Для коефіцієнтів і початкових умов , , отримати графіки перехідних процесів x (t), y (t) на інтервалі [0; 5] за допомогою пакета Мatlab.

Розв’язок

Приведемо задану систему до канонічного вигляду – коли у лівих частинах рівнянь знаходяться похідні найвищих порядків з коефіцієнтами, що дорівнюють одиниці.

Канонічний вигляд вихідної системи диференціальних рівнянь:

.

За допомогою методу структурного моделювання отримаємо розв’язок задачі у вигляді структурної схеми (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Структурна схема для вихідної системи диференціальних рівнянь

Структурна схема (рис. 1.1) у пакеті Matlab зображена на рис. 1.2. На рис. 1.3 наведено графіки перехідних процесів x (t), y (t) на інтервалі [0; 5] для коефіцієнтів і початкових умов , , , які отримані за допомогою структурної схеми (рис. 1.2), що моделюється в пакеті Мatlab.

Рисунок 1.2 – Структурна схема для вихідної системи диференціальних рівнянь у пакеті Matlab

Рисунок 1.3 – Графіки перехідних процесів для вихідної системи диференціальних рівнянь

2. Для системи, заданої у вигляді структурної схеми, записати еквівалентну передавальну функцію, виконати перехід від операторної форми запису до диференціального рівняння та скласти структурну схему для його розв’язання. Для значень коефіцієнта і постійної часу , нульових початкових умов і вхідного сигналу отримати графік перехідного процесу y (t) на інтервалі [0; 20] за допомогою пакета Мatlab.

Розв’язок

Розглянемо структурну схему (рис. 1.4) та виконаємо деякі структурні перетворення, необхідні для отримання еквівалентної передавальної функції.

Рисунок 1.4 – Вихідна структурна схема

Зобразимо вихідну структурну схему у вигляді елементарних підсистем, що складаються з послідовно з’єднаних ланок з відомими передавальними функціями або мають зворотні зв’язки. Після відповідних перетворень структурна схема, що зображена на рис. 1.4, набуде вигляду (рис. 1.5):

Рисунок 1.5 – Вихідна структурна схема після перетворень

Таким чином:

Еквівалентна передавальна функція вихідної структурної схеми:

Для переходу до диференціальної форми запису зробимо наступні заміни: та . Після відповідних перетворень маємо:

Перейдемо до канонічної форми запису диференціального рівняння:

де – постійні коефіцієнти.

На рис. 1.6 наведено розв’язок диференціального рівняння у вигляді структурної схеми, отриманої за допомогою методу зниження порядку похідної.

Рисунок 1.6 – Структурна схема отриманого диференціального рівняння

Структурна схема (рис. 1.6) у пакеті Matlab зображена на рис. 1.7. На рис. 1.8 наведено графік перехідного процесу y (t) на інтервалі [0; 20] для значень коефіцієнта і постійної часу , нульових початкових умов і вхідного сигналу .

Рисунок 1.7 – Структурна схема розв’язку диференціального рівняння

в пакеті Matlab

Рисунок 1.8 – Графік перехідного процесу

ЗАВДАННЯ 2