Решения избранных задач 2 страница

. (12.15.4)

Отсюда для получаем

. (12.15.5)

Длина этого вектора равна расстоянию между скрещивающимися прямыми:

. (12.15.6)

2. Геометрический смысл полученного результата.

Получим выражение (12.15.6) методом, аналогичным приведенному во втором действии задачи 12.14. От произвольной точки второй прямой отложим векторы , и направленный отрезок , где точка – произвольная точка первой прямой. Теперь построим на этих трех векторах параллелепипед. Высота этого параллелепипеда и будет определять расстояние между данными скрещивающимися прямыми.

Объем этого параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих трех векторов:

, (12.15.7)

а площадь основания определяется величиной векторного произведения векторов , :

. (12.15.8)

Следовательно, высота оказывается равной

. (12.15.9)

Это соотношение совпадает с результатом (12.15.6) и объясняет его геометрический смысл.

3. Для полного решения задачи нам надо определить местоположение точек и , которые были введены в первом действии. Эти точки являются концами общего перпендикуляра к заданным скрещивающимся прямым. Следовательно, направленный отрезок

, (12.15.10)

колинеарен нормали , общей для заданных прямых. Здесь – значение параметра, которое соответствует точке , а – точке . Условие перпендикулярности выразим в виде равенства нулю соответствующих скалярных произведений:

(12.15.11)

где для удобства введен вектор . После простейших преобразований получаем такую систему уравнений относительно неизвестных и :

(12.15.12)

Решение этой системы можно записать в виде

(12.15.13)

Здесь величина может быть записана в виде

, (12.15.14)

полученном в задаче 7.9(1). Выражение же для числителя можно пока не упрощать. Для другого параметра аналогично получаем:

. (12.15.15)

Мы получили значения параметров, соответствующие точкам и , а следовательно, знаем теперь радиус-векторы этих точек, и, значит, можем построить уравнение общего перпендикуляра как прямой, проходящей через эти точки:

. (12.15.16)

С другой стороны, мы получили еще одно выражение для вектора , который должен совпадать с ранее полученным (12.15.5).

. (12.15.17)

То есть мы должны убедиться в справедливости равенства

(12.15.18)

которое после умножения на принимает вид

(12.15.19)

Убедиться в том, что левую часть этого равенства можно представить в виде правой части можно таким способом. Представим левую часть этого равенства в виде неизвестного вектора :

(12.15.20)

Сначала скалярно умножаем поочередно на вектор и на , и убеждаемся в том, что эти произведения равняются нулю. Значит, вектор перпендикулярен векторам и , а следовательно, он параллелен вектору и его можно представить в виде

. (12.15.21)

Чтобы найти коэффициент , умножаем на векторное произведение и для получаем следующее соотношение:

. (12.15.22)

Откуда находим, что

. (12.15.23)

Следовательно, вектор равен

, (12.15.24)

что и требовалось доказать.

В качестве дополнительного упражнения можно попытаться доказать равенство (12.15.19) путем последовательных прямых преобразований левой части в правую. Дадим только небольшую подсказку. Если перенести первое слагаемое в левой части направо, то в правой части окажется двойное векторное произведение некоторых векторов.

ОТВЕТЫ

1.1. , , , . 1.2. , , . 1.3. 0. 1.4. , . 1.5. Точка пересечения медиан треугольника. 1.6. Точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника. 1.7. – точка, в которой пересекаются семь прямых: три прямые, проходящие через середины противоположных ребер тетраэдра, и четыре прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней. 1.8. Указание. Повернуть плоскость многоугольника вокруг его центра на центральный угол многоугольника. 1.9. . 1.10. , , , , , , . 1.11. . 1.12. . 1.13. , , , . 1.14. . 2.1. 1) Векторы , , линейно независимы. 2) Векторы , , линейно зависимы, и . 3) Векторы , , линейно зависимы, но вектор не может быть представлен как линейная комбинация векторов и , так как векторы и коллинеарны между собой, а вектор им не коллинеарен. 2.2. . 2.3. . 2.4. , . 2.5. . 2.6. . 2.7. . 2.8. 5. 2.9. , , , . 2.10. , . 2.11. , . 2.12. . 2.13. . 3.1. 1) ; 2) – 8; 3) – 2; 4) . 3.2. . 3.3. , , , , . Указание. Выбрать систему координат так, чтобы , . 3.4. . Указание. Принять точку за начало координат, а точку за единичную точку. 3.5. . 3.6. , , . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. Пересекает ось и не пересекает осей и . 3.11. Пересекаются в точке . 3.12. , , . 4.1. 1) ; 2) ; 3) . 4.2. . 4.3. . 4.4. , , , . 4.5. , . 4.6. : , , ; : , , ; : , , ; : , , ; : , , . 4.7. , , . 4.8. . 4.9. . 5.1. .
5.2. – 19. 5.3. 0. 5.4. . Указание. Ввести прямоугольную систему координат, приняв за начало координат вершину треугольника и за базисный вектор оси абсцисс вектор . 5.5. . 5.6. . 5.7. 5; , , . 5.8. . 5.9. . 5.10. . 5.11. , , . 5.12. , или , . 5.13. , . Указание. Если – середина диагонали , то вершины и мы получим, повернув вектор один раз на угол , другой раз на угол . 6.1. . 6.2. . 6.3. 9. 6.4. 48. 6.5. Два решения: 1) ; 2) , векторы , , попарно ортогональны. 6.9. . 7.1. , где , , . 7.2. . 7.3. . Указание. Разложить вектор по базису , , . 7.4. . 7.7. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда выполнено по крайней мере одно из двух условий: 1) вектор перпендикулярен векторам и ; 2) векторы и коллинеарны. 7.8. 1) ; 2) , где принимает все действительные значения. 7.9. . Указание. Ввести ортонормированный базис. 7.10. . 7.11. Если , то решений нет. Если же , то . 7.12. Если , то задача имеет 2 решения: , , где . Если , то одно решение: , . Если , то решений нет. 8.1. , . 8.2. 1) , , ; 2) , , ; 3) , , , . 8.3. 1) , , ; 2) , , , ; 3) , , , . 8.4. , , , . 8.5. , . 8.6. . 9.1. . 9.2. . 9.3. . 9.4. . Вершины , , . 9.5. 1) Прямые образуют треугольник; 2) прямые имеют одну общую точку; 3) первая и третья прямые параллельны, вторая их пересекает; 4) прямые попарно параллельны. 9.6. Точки , и лежат в полосе, точки и принадлежат одной смежной области, точка – другой внешней области. 9.7. Прямая пересекает продолжение отрезка за точку . 9.8. Точка лежит на продолжении стороны за вершину . Точка лежит в области, ограниченной стороной и продолжениями сторон и за точки и . Точка лежит в области, ограниченной продолжениями сторон и за вершину . 9.9. . 9.10. . 9.11. , , . 9.12. . 9.13. , . 9.14. . 9.15. , , . 10.1. 1) , ; , ; , ; 2) , ; , ; , ; 3) ; ; . 10.2. . 10.3. , ; , ; , . 10.4. , . 10.5. . 10.6. . 10.7. , . 10.8. , . 10.9. 1) ; 2) , ; 3) , . 10.10. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают. 10.11. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают. 10.12. 1) Прямая и плоскость пересекаются в точке ; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости; 4) прямая и плоскость пересекаются в точке . 10.13. 1) Пересекаются в точке и лежат в плоскости ; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости ; 4) совпадают. 11.1. 1) Пересекаются в точке и лежат в плоскости ; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости ; 4) совпадают. 11.2. 1) Три плоскости пересекаются в точке ; 2) три плоскости попарно параллельны; 3) три плоскости проходят через одну прямую; 4) плоскости попарно пересекаются и линия пересечения каждых двух плоскостей параллельна третей плоскости; 5) первая и третья плоскости параллельны; вторая их пересекает. 11.3. . 11.4. . Указание: воспользоваться уравнением пучка плоскостей. 11.5. и . 11.6. . 11.7. , . 11.8. . 11.9. . 11.10. , . 11.11. 1) ; , ; 2) , . 11.12. , . 11.13. Два решения: , . 11.14. Два решения: , . Указание. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является данная прямая. 12.1. . 12.2. . 12.3. . 12.4. , . 12.5. . 12.6. Центр , радиус равен . 12.7. . 12.8. . 12.9. 1) ; 2) . 12.10. 3. 12.11. . 12.12. . 12.13. , . 12.14. , , . 12.15. , , где , . 13.1. 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , . 13.2. 1) Множество всех внутренних точек полукруга, ограниченного окружностью и ее диаметром, лежащим на прямой , в которой лежит точка ; 2) множество всех точек большего из двух сегментов, на которые данная прямая разбивает данный круг. 13.3. . 13.4. Два решения: , . 13.5. . 13.6. . 13.7. . Указание. Рассмотреть уравнение пучка окружностей . 13.8. , где . 13.9. . 13.10. . 13.11. . 13.12. . 13.13. Окружность . 13.14. . 13.15. . 13.16. Два решения: , . 13.17. . Указание. Уравнение искомой линии может быть представлено в виде . 13.18. . 13.19. . 14.1. . Указание. Принять оси эллипса за оси новой прямоугольной системы координат. 14.2. . 14.3. . 14.4. 1) , : ; , : ; 2) , : ; , : ; 3) , : . 14.5. , . 14.6. , : . 14.7. , : ; , : . 14.8. , . 14.9. . Второй фокус , вторая директриса . 14.10. . Второй фокус , вторая директриса . 14.11. . 14.12. . 14.13. . 14.14. . 14.15. Два решения: ; . 14.16. Два решения: ; . 14.17. . 14.18. Две параболы с общим фокусом в центре данной окружности и директрисами, параллельными данной прямой. В случае внешнего касания постоянной и переменной окружности параметр параболы равен . В случае внутреннего касания параметр равен , где – радиус окружности, – расстояние от ее центра до данной прямой. Указание. Найти директрису кривой. 14.19. . 15.1. , . 15.2. , . 15.3. , . 15.4. . 15.5. 2. 15.6. . 15.7. . 15.8. . 15.9. . 15.10. . 15.11. . 16.1. 1) Эллипс; большая полуось равна 4, малая полуось равна 3, центр , направляющий вектор большой оси ; 2) гипербола; действительная полуось равна 1, мнимая полуось равна 2, центр , направляющий вектор действительной оси ; 3) парабола; параметр равен 2, вершина , направляющий вектор оси в сторону вогнутости ; 4) эллипс, большая полуось равна 5, малая полуось равна 3, центр , направляющий вектор большой оси ; 5) гипербола; действительная полуось равна 4, мнимая полуось равна 2, центр , направляющий вектор действительной оси ; 6) парабола; параметр равен , вершина , направляющий вектор оси в сторону вогнутости ; 7) пересекающиеся прямые , ; 8) параллельные прямые , ; 9) парабола с параметром , вершина , направляющий вектор оси в сторону вогнутости ; 10) гипербола; действительная полуось равна , мнимая полуось равна , центр , направляющий вектор действительной оси ; 11) эллипс; полуоси , ; центр , оси параллельны осям координат. 16.2. При – гипербола , действительная ось которой параллельна оси ; при – две пересекающиеся прямые , ; при – гипербола , действительная ось которой параллельна оси ; при – парабола ; при – эллипс (при – окружность ). 16.3. 1) Эллипс , , , (рис. О 1); 2) гипербола , , , (рис. О 2); 3) парабола , , , (рис. О 3);