![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
. (12.15.4)
Отсюда для получаем
. (12.15.5)
Длина этого вектора равна расстоянию между скрещивающимися прямыми:
. (12.15.6)
2. Геометрический смысл полученного результата.
Получим выражение (12.15.6) методом, аналогичным приведенному во втором действии задачи 12.14. От произвольной точки второй прямой отложим векторы
,
и направленный отрезок
, где точка
– произвольная точка первой прямой. Теперь построим на этих трех векторах параллелепипед. Высота этого параллелепипеда и будет определять расстояние между данными скрещивающимися прямыми.
Объем этого параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих трех векторов:
, (12.15.7)
а площадь основания определяется величиной векторного произведения векторов ,
:
. (12.15.8)
Следовательно, высота оказывается равной
. (12.15.9)
Это соотношение совпадает с результатом (12.15.6) и объясняет его геометрический смысл.
3. Для полного решения задачи нам надо определить местоположение точек и
, которые были введены в первом действии. Эти точки являются концами общего перпендикуляра к заданным скрещивающимся прямым. Следовательно, направленный отрезок
, (12.15.10)
колинеарен нормали , общей для заданных прямых. Здесь
– значение параметра, которое соответствует точке
, а
– точке
. Условие перпендикулярности выразим в виде равенства нулю соответствующих скалярных произведений:
(12.15.11)
где для удобства введен вектор . После простейших преобразований получаем такую систему уравнений относительно неизвестных
и
:
(12.15.12)
Решение этой системы можно записать в виде
(12.15.13)
Здесь величина может быть записана в виде
, (12.15.14)
полученном в задаче 7.9(1). Выражение же для числителя можно пока не упрощать. Для другого параметра аналогично получаем:
. (12.15.15)
Мы получили значения параметров, соответствующие точкам и
, а следовательно, знаем теперь радиус-векторы этих точек, и, значит, можем построить уравнение общего перпендикуляра как прямой, проходящей через эти точки:
. (12.15.16)
С другой стороны, мы получили еще одно выражение для вектора , который должен совпадать с ранее полученным (12.15.5).
. (12.15.17)
То есть мы должны убедиться в справедливости равенства
(12.15.18)
которое после умножения на принимает вид
(12.15.19)
Убедиться в том, что левую часть этого равенства можно представить в виде правой части можно таким способом. Представим левую часть этого равенства в виде неизвестного вектора :
(12.15.20)
Сначала скалярно умножаем поочередно на вектор
и на
, и убеждаемся в том, что эти произведения равняются нулю. Значит, вектор
перпендикулярен векторам
и
, а следовательно, он параллелен вектору
и его можно представить в виде
. (12.15.21)
Чтобы найти коэффициент , умножаем
на векторное произведение
и для
получаем следующее соотношение:
. (12.15.22)
Откуда находим, что
. (12.15.23)
Следовательно, вектор равен
, (12.15.24)
что и требовалось доказать.
В качестве дополнительного упражнения можно попытаться доказать равенство (12.15.19) путем последовательных прямых преобразований левой части в правую. Дадим только небольшую подсказку. Если перенести первое слагаемое в левой части направо, то в правой части окажется двойное векторное произведение некоторых векторов.
ОТВЕТЫ
1.1. ,
,
,
. 1.2.
,
,
. 1.3. 0. 1.4.
,
. 1.5. Точка пересечения медиан треугольника. 1.6. Точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника. 1.7.
– точка, в которой пересекаются семь прямых: три прямые, проходящие через середины противоположных ребер тетраэдра, и четыре прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней. 1.8. Указание. Повернуть плоскость многоугольника вокруг его центра на центральный угол многоугольника. 1.9.
. 1.10.
,
,
,
,
,
,
. 1.11.
. 1.12.
. 1.13.
,
,
,
. 1.14.
. 2.1. 1) Векторы
,
,
линейно независимы. 2) Векторы
,
,
линейно зависимы, и
. 3) Векторы
,
,
линейно зависимы, но вектор
не может быть представлен как линейная комбинация векторов
и
, так как векторы
и
коллинеарны между собой, а вектор
им не коллинеарен. 2.2.
. 2.3.
. 2.4.
,
. 2.5.
. 2.6.
. 2.7.
. 2.8. 5. 2.9.
,
,
,
. 2.10.
,
. 2.11.
,
. 2.12.
. 2.13.
. 3.1. 1)
; 2) – 8; 3) – 2; 4)
. 3.2.
. 3.3.
,
,
,
,
. Указание. Выбрать систему координат так, чтобы
,
. 3.4.
. Указание. Принять точку
за начало координат, а точку
за единичную точку. 3.5.
. 3.6.
,
,
. 3.7.
. 3.8.
. 3.9.
. 3.10. Пересекает ось
и не пересекает осей
и
. 3.11. Пересекаются в точке
. 3.12.
,
,
. 4.1. 1)
; 2)
; 3)
. 4.2.
. 4.3.
. 4.4.
,
,
,
. 4.5.
,
. 4.6.
:
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
. 4.7.
,
,
. 4.8.
. 4.9.
. 5.1.
.
5.2. – 19. 5.3. 0. 5.4. . Указание. Ввести прямоугольную систему координат, приняв за начало координат вершину
треугольника и за базисный вектор оси абсцисс вектор
. 5.5.
. 5.6.
. 5.7. 5;
,
,
. 5.8.
. 5.9.
. 5.10.
. 5.11.
,
,
. 5.12.
,
или
,
. 5.13.
,
. Указание. Если
– середина диагонали
, то вершины
и
мы получим, повернув вектор
один раз на угол
, другой раз на угол
. 6.1.
. 6.2.
. 6.3. 9. 6.4. 48. 6.5. Два решения: 1)
; 2)
, векторы
,
,
попарно ортогональны. 6.9.
. 7.1.
, где
,
,
. 7.2.
. 7.3.
. Указание. Разложить вектор
по базису
,
,
. 7.4.
. 7.7. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда выполнено по крайней мере одно из двух условий: 1) вектор
перпендикулярен векторам
и
; 2) векторы
и
коллинеарны. 7.8. 1)
; 2)
, где
принимает все действительные значения. 7.9.
. Указание. Ввести ортонормированный базис. 7.10.
. 7.11. Если
, то решений нет. Если же
, то
. 7.12. Если
, то задача имеет 2 решения:
,
, где
. Если
, то одно решение:
,
. Если
, то решений нет. 8.1.
,
. 8.2. 1)
,
,
; 2)
,
,
; 3)
,
,
,
. 8.3. 1)
,
,
; 2)
,
,
,
; 3)
,
,
,
. 8.4.
,
,
,
. 8.5.
,
. 8.6.
. 9.1.
. 9.2.
. 9.3.
. 9.4.
. Вершины
,
,
. 9.5. 1) Прямые образуют треугольник; 2) прямые имеют одну общую точку; 3) первая и третья прямые параллельны, вторая их пересекает; 4) прямые попарно параллельны. 9.6. Точки
,
и
лежат в полосе, точки
и
принадлежат одной смежной области, точка
– другой внешней области. 9.7. Прямая пересекает продолжение отрезка
за точку
. 9.8. Точка
лежит на продолжении стороны
за вершину
. Точка
лежит в области, ограниченной стороной
и продолжениями сторон
и
за точки
и
. Точка
лежит в области, ограниченной продолжениями сторон
и
за вершину
. 9.9.
. 9.10.
. 9.11.
,
,
. 9.12.
. 9.13.
,
. 9.14.
. 9.15.
,
,
. 10.1. 1)
,
;
,
;
,
; 2)
,
;
,
;
,
; 3)
;
;
. 10.2.
. 10.3.
,
;
,
;
,
. 10.4.
,
. 10.5.
. 10.6.
. 10.7.
,
. 10.8.
,
. 10.9. 1)
; 2)
,
; 3)
,
. 10.10. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают. 10.11. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают. 10.12. 1) Прямая и плоскость пересекаются в точке
; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости; 4) прямая и плоскость пересекаются в точке
. 10.13. 1) Пересекаются в точке
и лежат в плоскости
; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости
; 4) совпадают. 11.1. 1) Пересекаются в точке
и лежат в плоскости
; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости
; 4) совпадают. 11.2. 1) Три плоскости пересекаются в точке
; 2) три плоскости попарно параллельны; 3) три плоскости проходят через одну прямую; 4) плоскости попарно пересекаются и линия пересечения каждых двух плоскостей параллельна третей плоскости; 5) первая и третья плоскости параллельны; вторая их пересекает. 11.3.
. 11.4.
. Указание: воспользоваться уравнением пучка плоскостей. 11.5.
и
. 11.6.
. 11.7.
,
. 11.8.
. 11.9.
. 11.10.
,
. 11.11. 1)
;
,
; 2)
,
. 11.12.
,
. 11.13. Два решения:
,
. 11.14. Два решения:
,
. Указание. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является данная прямая. 12.1.
. 12.2.
. 12.3.
. 12.4.
,
. 12.5.
. 12.6. Центр
, радиус равен
. 12.7.
. 12.8.
. 12.9. 1)
; 2)
. 12.10. 3. 12.11.
. 12.12.
. 12.13.
,
. 12.14.
,
,
. 12.15.
,
, где
,
. 13.1. 1)
,
; 2)
,
; 3)
,
; 4)
,
. 13.2. 1) Множество всех внутренних точек полукруга, ограниченного окружностью
и ее диаметром, лежащим на прямой
, в которой лежит точка
; 2) множество всех точек большего из двух сегментов, на которые данная прямая разбивает данный круг. 13.3.
. 13.4. Два решения:
,
. 13.5.
. 13.6.
. 13.7.
. Указание. Рассмотреть уравнение пучка окружностей
. 13.8.
, где
. 13.9.
. 13.10.
. 13.11.
. 13.12.
. 13.13. Окружность
. 13.14.
. 13.15.
. 13.16. Два решения:
,
. 13.17.
. Указание. Уравнение искомой линии может быть представлено в виде
. 13.18.
. 13.19.
. 14.1.
. Указание. Принять оси эллипса за оси новой прямоугольной системы координат. 14.2.
. 14.3.
. 14.4. 1)
,
:
;
,
:
; 2)
,
:
;
,
:
; 3)
,
:
. 14.5.
,
. 14.6.
,
:
. 14.7.
,
:
;
,
:
. 14.8.
,
. 14.9.
. Второй фокус
, вторая директриса
. 14.10.
. Второй фокус
, вторая директриса
. 14.11.
. 14.12.
. 14.13.
. 14.14.
. 14.15. Два решения:
;
. 14.16. Два решения:
;
. 14.17.
. 14.18. Две параболы с общим фокусом в центре данной окружности и директрисами, параллельными данной прямой. В случае внешнего касания постоянной и переменной окружности параметр параболы равен
. В случае внутреннего касания параметр равен
, где
– радиус окружности,
– расстояние от ее центра до данной прямой. Указание. Найти директрису кривой. 14.19.
. 15.1.
,
. 15.2.
,
. 15.3.
,
. 15.4.
. 15.5. 2. 15.6.
. 15.7.
. 15.8.
. 15.9.
. 15.10.
. 15.11.
. 16.1. 1) Эллипс; большая полуось равна 4, малая полуось равна 3, центр
, направляющий вектор большой оси
; 2) гипербола; действительная полуось равна 1, мнимая полуось равна 2, центр
, направляющий вектор действительной оси
; 3) парабола; параметр равен 2, вершина
, направляющий вектор оси в сторону вогнутости
; 4) эллипс, большая полуось равна 5, малая полуось равна 3, центр
, направляющий вектор большой оси
; 5) гипербола; действительная полуось равна 4, мнимая полуось равна 2, центр
, направляющий вектор действительной оси
; 6) парабола; параметр равен
, вершина
, направляющий вектор оси в сторону вогнутости
; 7) пересекающиеся прямые
,
; 8) параллельные прямые
,
; 9) парабола с параметром
, вершина
, направляющий вектор оси в сторону вогнутости
; 10) гипербола; действительная полуось равна
, мнимая полуось равна
, центр
, направляющий вектор действительной оси
; 11) эллипс; полуоси
,
; центр
, оси параллельны осям координат. 16.2. При
– гипербола
, действительная ось которой параллельна оси
; при
– две пересекающиеся прямые
,
; при
– гипербола
, действительная ось которой параллельна оси
; при
– парабола
; при
– эллипс
(при
– окружность
). 16.3. 1) Эллипс
,
,
,
(рис. О 1); 2) гипербола
,
,
,
(рис. О 2); 3) парабола
,
,
,
(рис. О 3);
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 689 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!