Решения избранных задач 1 страница

В данном разделе предлагаются решения следующих задач: 1.9, 5.6, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6(1), 12.14, 12.15.

Задача 1.9

Из точки О выходят два вектора, = , = . Найти какой-нибудь вектор = , идущий по биссектрисе угла АОВ.

Решение

Для решения этой задачи достаточно использовать правило параллелограмма, вспомнив при этом, что диагональ в параллелограмме является биссектрисой, если параллелограмм является ромбом, то есть все его стороны оказываются равными. Поэтому достаточно от векторов и перейти к векторам и , которые направлены также как и , соответственно, но имеют одинаковые длины . В качестве векторов и можно взять орты векторов и : и . Тогда искомое выражение для вектора будет выглядеть следующим образом:

.

Можно предложить и другие решения этой задачи, например:

, и т.д. и т.п.

Задача 5.6

Представить вектор в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен заданному ненулевому вектору , а другой перпендикулярен.

Решение

1) В задаче требуется представить вектор в следующем виде

,

где – параллелен вектору , а – перпендикулярен .

2) Для в силу его параллельности ненулевом вектору следует существование такого числа , что . Тогда вектор оказывается равным

.

3) Вектор перпендикулярен , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Из этого уравнения уже можно найти величину :

.

4) Теперь можно выписать искомое выражение для вектора :

.

Для перпендикулярной составляющей пока (до следующего раздела) получаем следующее выражение:

.

5) Во время решения задачи мы получили общую формулу для проекции одного вектора на другой, ведь ни что иное, как проекция вектора на вектор . Таким образом

.

Задача 7.1

Представить заданный данный вектор в виде разложения произвольного вектора по трем заданным некомпланарным векторам , и .

Решение

По условию задачи необходимо представить вектор в следующем виде:

. (7.1.1)

Искомые коэффициенты , и представляют собой не что иное, как координаты вектора в базисе, составленном из векторов , и . Существование и единственность такого представления исследована в [2] (см. теоремы 7, 8 в разделах 3, 4).

Для решения задачи воспользуемся тем свойством смешанного произведения, согласно которому смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю. Умножим скалярно левую и правую часть соотношения (7.1.1) на векторное произведение :

. (7.1.2)

Отсюда можно найти коэффициент

. (7.1.3)

Заметим, что согласно условию задачи величина , стоящая в знаменателе не равна нулю. Полученный результат можно переписать другим образом:

. (7.1.4)

Аналогично получаем коэффициенты и умножая соотношение (7.1.1) на величины и , соответственно:

. (7.1.5)

Коэффициент в разложении вектора по базису равен дроби, в знаменателе которой стоит смешанное произведение базисных векторов, а в числителе – это же смешанное произведение, в котором данный вектор стоит вместо базисного вектора, соответствующего искомой координате.

Задача 7.2

Упростить выражение

.

Решение

Для решения задачи рассмотрим двойное векторное произведение , где в качестве первого вектора возьмем , второго – , а третьего – . Тогда

.

Умножая это произведение на получаем

.

Таким образом, мы показали, что некомпланарность векторов , и эквивалентна некопланарности векторов , и , то есть величины

равны (или не равны) нулю одновременно.

Задача 7.3

Определить вектор по заданным скалярным произведениям , и .

Решение

Предложим такое разложение вектора , чтобы после соответствующих скалярных умножений получалось наиболее простые выражения, желательно содержащие по одному из неизвестных коэффициентов разложения. Одно и таких разложений имеет вид:

. (7.3.1)

Действительно, после скалярного умножения на любой из векторов , и справа будет оставаться только одно из слагаемых. В тоже время слева будут получаться заданные по условию задачи соответствующие скалярные произведения. Например:

. (7.3.2)

Отсюда получаем:

. (7.3.3)

Аналогично и для других коэффициентов:

и . (7.3.4)

В итоге, для вектора получаем окончательное выражение

. (7.3.5)

Мы видим, что для существования решения необходимо по крайней мере чтобы знаменатели в (7.3.5) не равнялись нулю, то есть векторы , и не были компланарными.

Задача 7.4 (продолжение задачи 5.6)

Найти компонент вектора ортогональный вектору .

Решение

В задаче 5.6 был найден компонент вектора параллельный ненулевому вектору :

.

Отсюда можно найти компонент вектора перпендикулярный вектору :

.

Теперь приведем правую часть этого выражения к общему знаменателю:

.

В числителе стоит не что иное, как двойное векторное произведение . Значит, искомое выражение для выглядит так:

.

Задача 7.6(1)

Доказать, что

.

Решение

Величина представляет собой смешанное произведение трех векторов . Следовательно, в нем можно переставить знаки местами:

.

В фигурных скобках стоит двойное векторное произведение, которое раскрываем согласно правилу:

Раскрывая фигурные скобки, окончательно получаем искомое соотношение.

.

Отметим частный случай соотношения , в котором векторы и , а также и совпадают:

.

Это соотношения связывает длины векторного и скалярного произведения двух векторов:

.

Причем последнее соотношение может быть доказано прямо из определений длин векторного и скалярного произведения:

.

Это равенство справедливо в силу соотношения .

Задача 12.14

Определить проекцию точки на прямую в пространстве, расстояние от этой точки до прямой . Получить уравнение перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Решение

1. Пусть точка является проекцией заданной точки на прямую , причем . Тогда вектор является компонентом вектора перпендикулярным :

, (12.14.1)

где – любая точка заданной прямой.

Так как точка принадлежит прямой, то ее радиус-вектор может быть записан в виде , где – значение параметра, соответствующее точке . Тогда для получаем:

. (12.14.2)

Длина этого вектора определяет расстояние от точки до прямой:

. (12.14.3)

2. Можно найти расстояние от точки до прямой чисто геометрическим методом. Давайте соединим точку с любой точкой на прямой, например с точкой . Выберем на прямой другую точку, не совпадающую с , например (), и отложим от точки отрезок , параллельный отрезку , так, чтобы точки и оказались в одной полуплоскости.

Площадь полученного параллелограмма будет равна величине векторного произведения , в высота, проведенная из точки к основанию является искомым расстоянием от точки до прямой. Высоту параллелограмма можно найти, разделив его площадь на длину основания, к которому проведена эта высота:

. (12.14.4)

В это равенство подставим выражения для радиус-векторов точек и , принадлежащих прямой:

. (12.14.5)

Особенностью такого решения является то, что в качестве точек и можно выбирать какие угодно несовпадающие точки прямой. Например, можно было выбрать такие точки и , чтобы , и сразу получить искомый результат, совпадающий с (12.14.3).

3. Однако полное решение этой задачи требует, чтобы мы нашли еще и местоположение точки – проекции точки на заданную прямую. Эту задачу решим чуть по-другому.

Пусть точка на прямой задана своим параметром:

. (12.14.6)

Чтобы найти значение , потребуем, чтобы вектор был ортогонален прямой, то есть . Тогда имеем

. (12.14.7)

Отсюда получаем, что

. (12.14.8)

Следовательно, радиус-вектор точки равен

. (12.14.9)

Зная , можно задать уравнение перпендикуляра, например, как уравнение прямой, проходящей через две точки.

Кроме того, можно проверить согласованность разных решений. Так для разности мы теперь получаем выражение

, (12.14.10)

из которого следует (12.14.3).

Рис. 12.1. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми

Задача 12.15

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Построить уравнение общей нормали.

Решение

Эту задачу тоже можно решать в три этапа. Сначала найдем расстояние между скрещивающимися прямыми. Потом дадим геометрическое объяснение полученного ответа, а затем получим уравнение прямой – общей нормали к данным прямым.

1. Пусть обе прямые заданы векторными параметрическими уравнениями

и , (12.15.1)

где заданы радиус-векторы точек и , через которые проходят прямые, их направляющие векторы и . Величины и являются параметрами для первой и второй прямой соответственно.

В этом случае сразу можно указать вектор , перпендикулярный обеим прямым:

. (12.15.2)

Этот вектор является направляющим вектором для общего перпендикуляра.

Теперь соединим направленным отрезком любую точку на второй прямой с любой точкой на первой прямой :

. (12.15.3)

Предположим, что вектор , соединяющий точку на второй прямой с точкой на первой, перпендикулярен обеим прямым. Тогда этот вектор параллелен вектору , а длина его равна искомому расстоянию между прямыми . В то же время точка является ортогональной проекцией точки на прямую , а точка – ортогональной проекцией точки на прямую . Следовательно, отрезок есть не что иное, как ортогональная проекция отрезка на отрезок или на вектор :