![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В данном разделе предлагаются решения следующих задач: 1.9, 5.6, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6(1), 12.14, 12.15.
Задача 1.9
Из точки О выходят два вектора, =
,
=
. Найти какой-нибудь вектор
=
, идущий по биссектрисе угла АОВ.
Решение
Для решения этой задачи достаточно использовать правило параллелограмма, вспомнив при этом, что диагональ в параллелограмме является биссектрисой, если параллелограмм является ромбом, то есть все его стороны оказываются равными. Поэтому достаточно от векторов и
перейти к векторам
и
, которые направлены также как
и
, соответственно, но имеют одинаковые длины
. В качестве векторов
и
можно взять орты векторов
и
:
и
. Тогда искомое выражение для вектора
будет выглядеть следующим образом:
.
Можно предложить и другие решения этой задачи, например:
,
и т.д. и т.п.
Задача 5.6
Представить вектор в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен заданному ненулевому вектору
, а другой перпендикулярен.
Решение
1) В задаче требуется представить вектор в следующем виде
,
где – параллелен вектору
, а
– перпендикулярен
.
2) Для в силу его параллельности ненулевом вектору
следует существование такого числа
, что
. Тогда вектор
оказывается равным
.
3) Вектор перпендикулярен
, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
.
Из этого уравнения уже можно найти величину :
.
4) Теперь можно выписать искомое выражение для вектора :
.
Для перпендикулярной составляющей пока (до следующего раздела) получаем следующее выражение:
.
5) Во время решения задачи мы получили общую формулу для проекции одного вектора на другой, ведь ни что иное, как проекция вектора
на вектор
. Таким образом
.
Задача 7.1
Представить заданный данный вектор в виде разложения произвольного вектора по трем заданным некомпланарным векторам
,
и
.
Решение
По условию задачи необходимо представить вектор в следующем виде:
. (7.1.1)
Искомые коэффициенты ,
и
представляют собой не что иное, как координаты вектора
в базисе, составленном из векторов
,
и
. Существование и единственность такого представления исследована в [2] (см. теоремы 7, 8 в разделах 3, 4).
Для решения задачи воспользуемся тем свойством смешанного произведения, согласно которому смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю. Умножим скалярно левую и правую часть соотношения (7.1.1) на векторное произведение :
. (7.1.2)
Отсюда можно найти коэффициент
. (7.1.3)
Заметим, что согласно условию задачи величина , стоящая в знаменателе не равна нулю. Полученный результат можно переписать другим образом:
. (7.1.4)
Аналогично получаем коэффициенты и
умножая соотношение (7.1.1) на величины
и
, соответственно:
. (7.1.5)
Коэффициент в разложении вектора по базису равен дроби, в знаменателе которой стоит смешанное произведение базисных векторов, а в числителе – это же смешанное произведение, в котором данный вектор стоит вместо базисного вектора, соответствующего искомой координате.
Задача 7.2
Упростить выражение
.
Решение
Для решения задачи рассмотрим двойное векторное произведение , где в качестве первого вектора возьмем
, второго –
, а третьего –
. Тогда
.
Умножая это произведение на получаем
.
Таким образом, мы показали, что некомпланарность векторов ,
и
эквивалентна некопланарности векторов
,
и
, то есть величины
равны (или не равны) нулю одновременно.
Задача 7.3
Определить вектор по заданным скалярным произведениям
,
и
.
Решение
Предложим такое разложение вектора , чтобы после соответствующих скалярных умножений получалось наиболее простые выражения, желательно содержащие по одному из неизвестных коэффициентов разложения. Одно и таких разложений имеет вид:
. (7.3.1)
Действительно, после скалярного умножения на любой из векторов ,
и
справа будет оставаться только одно из слагаемых. В тоже время слева будут получаться заданные по условию задачи соответствующие скалярные произведения. Например:
. (7.3.2)
Отсюда получаем:
. (7.3.3)
Аналогично и для других коэффициентов:
и
. (7.3.4)
В итоге, для вектора получаем окончательное выражение
. (7.3.5)
Мы видим, что для существования решения необходимо по крайней мере чтобы знаменатели в (7.3.5) не равнялись нулю, то есть векторы ,
и
не были компланарными.
Задача 7.4 (продолжение задачи 5.6)
Найти компонент вектора ортогональный вектору
.
Решение
В задаче 5.6 был найден компонент вектора
параллельный ненулевому вектору
:
.
Отсюда можно найти компонент вектора
перпендикулярный вектору
:
.
Теперь приведем правую часть этого выражения к общему знаменателю:
.
В числителе стоит не что иное, как двойное векторное произведение . Значит, искомое выражение для
выглядит так:
.
Задача 7.6(1)
Доказать, что
.
Решение
Величина представляет собой смешанное произведение трех векторов
. Следовательно, в нем можно переставить знаки местами:
.
В фигурных скобках стоит двойное векторное произведение, которое раскрываем согласно правилу:
Раскрывая фигурные скобки, окончательно получаем искомое соотношение.
.
Отметим частный случай соотношения , в котором векторы
и
, а также
и
совпадают:
.
Это соотношения связывает длины векторного и скалярного произведения двух векторов:
.
Причем последнее соотношение может быть доказано прямо из определений длин векторного и скалярного произведения:
.
Это равенство справедливо в силу соотношения .
Задача 12.14
Определить проекцию точки на прямую в пространстве, расстояние от этой точки до прямой
. Получить уравнение перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Решение
1. Пусть точка является проекцией заданной точки
на прямую
, причем
. Тогда вектор
является компонентом вектора
перпендикулярным
:
, (12.14.1)
где – любая точка заданной прямой.
Так как точка принадлежит прямой, то ее радиус-вектор может быть записан в виде
, где
– значение параметра, соответствующее точке
. Тогда для
получаем:
. (12.14.2)
Длина этого вектора определяет расстояние от точки
до прямой:
. (12.14.3)
2. Можно найти расстояние от точки до прямой чисто геометрическим методом. Давайте соединим точку с любой точкой на прямой, например с точкой
. Выберем на прямой другую точку, не совпадающую с
, например
(
), и отложим от точки
отрезок
, параллельный отрезку
, так, чтобы точки
и
оказались в одной полуплоскости.
Площадь полученного параллелограмма будет равна величине векторного произведения , в высота, проведенная из точки
к основанию
является искомым расстоянием от точки
до прямой. Высоту параллелограмма можно найти, разделив его площадь на длину основания, к которому проведена эта высота:
. (12.14.4)
В это равенство подставим выражения для радиус-векторов точек и
, принадлежащих прямой:
. (12.14.5)
Особенностью такого решения является то, что в качестве точек и
можно выбирать какие угодно несовпадающие точки прямой. Например, можно было выбрать такие точки
и
, чтобы
, и сразу получить искомый результат, совпадающий с (12.14.3).
3. Однако полное решение этой задачи требует, чтобы мы нашли еще и местоположение точки – проекции точки
на заданную прямую. Эту задачу решим чуть по-другому.
Пусть точка на прямой задана своим параметром:
. (12.14.6)
Чтобы найти значение , потребуем, чтобы вектор
был ортогонален прямой, то есть
. Тогда имеем
. (12.14.7)
Отсюда получаем, что
. (12.14.8)
Следовательно, радиус-вектор точки равен
. (12.14.9)
Зная , можно задать уравнение перпендикуляра, например, как уравнение прямой, проходящей через две точки.
Кроме того, можно проверить согласованность разных решений. Так для разности мы теперь получаем выражение
, (12.14.10)
из которого следует (12.14.3).
Рис. 12.1. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми
Задача 12.15
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Построить уравнение общей нормали.
Решение
Эту задачу тоже можно решать в три этапа. Сначала найдем расстояние между скрещивающимися прямыми. Потом дадим геометрическое объяснение полученного ответа, а затем получим уравнение прямой – общей нормали к данным прямым.
1. Пусть обе прямые заданы векторными параметрическими уравнениями
и
, (12.15.1)
где заданы радиус-векторы точек и
, через которые проходят прямые, их направляющие векторы
и
. Величины
и
являются параметрами для первой и второй прямой соответственно.
В этом случае сразу можно указать вектор , перпендикулярный обеим прямым:
. (12.15.2)
Этот вектор является направляющим вектором для общего перпендикуляра.
Теперь соединим направленным отрезком любую точку на второй прямой с любой точкой на первой прямой
:
. (12.15.3)
Предположим, что вектор , соединяющий точку
на второй прямой с точкой
на первой, перпендикулярен обеим прямым. Тогда этот вектор параллелен вектору
, а длина его равна искомому расстоянию между прямыми
. В то же время точка
является ортогональной проекцией точки
на прямую
, а точка
– ортогональной проекцией точки
на прямую
. Следовательно, отрезок
есть не что иное, как ортогональная проекция отрезка
на отрезок
или на вектор
:
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 3229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!