Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Свойства. Порождающие системы векторов. Примеры

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Система векторов x ₁, x ₂, …, x _n Î X называется линейно зависимой, если существуют числа α ₁, α ₂, …, α_n Î R, не все равные нулю (т.е. α ₁² + α ₂² + … + α_n ² ≠ 0), такие, что

α ₁ x ₁ + α ₂ x ₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α ₁ = α ₂ = … = α_n = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x ₁, x ₂, …, x _n Î X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Следствие. Два вектора x ₁ и x ₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда x ₁ = αx ₂ или x ₂ = βx ₁ при некоторых α, β Î R, т.е. когда векторы x ₁ и x ₂ коллинеарны.

Свойства

• линейно зависимо
• линейно независимо линейно независимо для всех
• линейно зависимо линейно зависимо для всех