Линейное однородное уравнение первого порядка

Общее решение: .

Решение задачи Коши, y(x₀) = y₀:

Линейное неоднородное уравнение первого порядка

Общее решение:

Решение задачи Коши, y(x₀) = y₀:

Векторные пространства. Определение и примеры. Свойства нуля. Линейное выражение.

Ве́кторное (лине́йное) простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);
2. , для любых (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;
4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. (ассоциативность умножения на скаляр);
6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.