Свойства транспонированных матриц

• 

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• 

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• 

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

• 

При транспонировании можно выносить скаляр.

• 

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Умножение матриц. Свойства, примеры.

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц.

Определение

Пусть даны две прямоугольные матрицы и размерности и соответственно:

Тогда матрица размерностью называется их произведением:

где:

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Следует заметить, что из существования произведения вовсе не следует существование произведения

Свойства

Сочетательное свойство:

Распределительное свойство:

.

Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если и — квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц: