Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Базис. Теорема о базисе. Количество векторов в базисе. Размерность и ранг. Примеры. Координаты вектора в базисе



Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:

Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово.

Пусть F — идеал в R[x] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p множество старших коэффициентов многочленов, его составляющих. Докажем, что p — идеал.

В самом деле, если a и b — элементы p, то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из Ff(x)=axn+… и g(x)=bxm+… Если, например, m≥n, то a+b является старшим коэффициентом многочлена xm-nf(x)+g(x) Î F. Если a является старшим коэффициентом f(x) то ar является старшим коэффициентом rf(x) Î F для любого элемента кольца r. Таким образом p — идеал, а так как R — нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a1, a2…an, являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f1, f2…fn Î F. Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r. Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна m<r, то можно сделать её такой домножая на xr-m.

Аналогично доказывается что pk — множество старших коэффициентов многочленов из F, степень которых k≤r (к этому множеству добавен 0 кольца) является идеалом, и потому идеалом, конечно порожденным элементами ak1, ak2. Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов fk1,fk2… Î F степени k

Докажем, что эти многочлены f1, …fi…,f11, …f1i…,fr-1,1, …fr-1,i… Î F порождают идеал F. Пусть f(x)=axs+… — какой-нибудь многочлен идеала F, по определению a Î p. Если его степень s≥r то так как a по доказанному является линейной комбинацией a=r1a1+r2a2+ …rnan старших членов многочленов f1, f2…fn Î F степени r, то мы получим, что f(x)-r1xs-rf1-r2xs-rf2- …rnxs-rfn будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F. Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени ≤r.

Для многочлена степени k<r применяется та же процедура, но с использованием многочленов fk1,fk2… Î F, старшие коэффициенты которых порождают идеал pk. Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба.

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы является:

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка равны нулю (). Тогда , если они существуют.

Векторы, составляющие базис в пространстве, называются базисными.

• Коэффициент линейной комбинации в линейном мире – модуль вектора.

• Пусть компланарен плоскости, в которой выбран базис

- разложение вектора по базису

• В пространстве:

- разложение вектора по базису в пространстве

- координаты в базисе, образованном векторами

Теорема (о единственном разложении вектора по базису): разложение вектора по базису единственно.

Теорема: при сложении векторов координаты складываются, а при умножении на скаляр – умножаются на этот скаляр.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов в координатной плоскости:

2 вектора || в т. и т.т. случае, если их координаты пропорциональны.





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1608 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...