Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны

Оқиғаның әр тәуелсіз тәжірибеде пайда болу ықтималдығы Р болса, онда n тәжірибеде осы оқиғаның пайда болу саны k₀ ең ықтимал сан деп аталады, егер k₀ саны осы тәжірибелерден пайда болуы мүмкін басқа нәтижелердің ықтималдықтарынан асып кетсе немесе кем болмаса. Енді осы ең ықтималды сан k₀-ді анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты Р_n (k₀) деп ұйғарайық та, оның алдындағы Р_n (k₀-1) мен одан кейінгі

Р_n (k₀+1) ықтималдығын алайық. Сонымен

болады. Бұлардың әр қайсысын жеке жеке қарастырайық. Сонда

болып келеді. Бұдан К₀≤np+p екені шығады. Екінші теңсіздіктен

.

Бұдан ≥ np-q Бұл екі теңсіздікті біріктіргенде, np-q≤ ≤np+p болады. Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін түрлендірейік:

np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.

Сонымен, алдыңғы теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бүтін бірлікке артық. np-q мен np+p сандары бөлшек болса, онда айырымы бірге тең екі бөлшек сан шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады.

Сонымен, ең ықтимал сан қос теңсіздіктен анықталады

np-q≤ ≤n+p (1) және егер:

а) np-q бөлшек сан болса, онда бір ең ықтимал сан болады;

б) np-q бүтін сан болса, онда екі ең ықтимал сан және +1 болады;

в) np бүтін сан болса, онда ең ықтимал сан =np болады.

Мысал: Тәуелсіз 6 сынау жүргізілсін дейік. Оның әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,2-ге тең. А оқиғасының пайда болуының ең жоғары ықтималдықты санын табу керек. Шешуі: Есептің шарты бойынша n=6; p=0,2; q=0,8. Ең ықтимал сан -ді табу үшін (1) қос теңсіздігін пайдаланамыз. Осыған есептің берілгенін қойсақ, 6∙0,2-0,8≤ ≤6∙0,2+0,2 немесе 0,4≤ ≤1,4 болады. Мұндағы np+p=1,4, ал np-q=0,4 бөлшек сандары болғандықтан =1.