![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция определена в точке
и некоторой ее окрестности.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке
если
т.е. если
Функция называется непрерывной слева (справа) в точке
если
(соответственно
).
Функция называется непрерывной на множестве
если она непрерывна в каждой точке
этого множества.
Очевидны следующие высказывания.
(
непрерывна в точке
)
Для того чтобы функция
была непрерывна в точке
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в точке
Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке также являются непрерывными в этой точке функциями. Частное
двух непрерывных в точке
функций непрерывно в этой точке, если
С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения.
Теорема 1. Пусть сложная функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
и пусть выполнены условия:
а) существует
б) функция непрерывна в точке
Тогда существует предел и имеет место равенство
Теорема 2. Пусть сложная функция определена в точке
и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия:
а) функция непрерывна в точке
,
б) функция непрерывна в соответствующей точке
Тогда сложная функция непрерывна в точке
Теорему 1 называют теоремой о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, а теорему 2– теоремой о непрерывности сложной функци и.
Пример 1. Найти предел
Решение. Так как существует а функция
непрерывна в точке
то по теореме 1 имеем
Определение 3. Функции вида
называются простейшими элементарными функциями. Всякая функция, полученная из простейших элементарных функций путем применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функций от функций (т.е. образования сложных функций) называется элементарной функцией (общего вида).
Имеет место следующая замечательная теорема.
Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой внутренней точке своей области определения
.
Напомним, что точка называется внутренней точкой множества
если она входит в
вместе с некоторой своей окрестностью
Например, функция непрерывна на множестве
так как это множество является областью определения функции
и все точки этого множества – внутренние.
Если хотя бы одно из условий определения 2 не выполнено, то функция является
разрывной в точке . Различают два типа разрывов:
Точка – точка разрыва I рода: а) существуют
и конечные односторонние пределы
но либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значению
;
б) существуют конечные односторонние пределы но
не определена в точке
Точка – точка разрыва II рода: либо не существует хотя бы один из односторонних пределов
либо хотя бы один из них равен бесконечности.
Например, точка точка разрыва I рода для функций
а для функции она является точкой разрыва II рода.
Если то прямая
вертикальная асимптота для функции
Прямая
называется наклонной (горизонтальной при
) асимптотой функции
, если
Нетрудно показать, что если существуют конечные пределы
то прямая асимптота кривой
Таким образом, асимптоты функции
могут возникнуть при подходе
к точкам разрыва
второго рода этой функции либо на бесконечности.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 439 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!