![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
На рисунке изображены график функции
точки
секущая,
касательная к кривой
углы
Пусть функция
определена в точке
и некоторой ее окрестности
. Сместимся из точки
в точку
Величина
называется приращением аргумента в точке
а величина
=
называется приращением функции
в точке
(соответствующим приращению
аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке
и обозначают
При этом функцию
называют дифференцируемой в точке
а
величину называют дифференциалом функции
в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как
то
т.е.
т.е. производная функции
в точке
является угловым коэффициентом касательной к кривой
с точкой касания
С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому
дифференциал равен приращению касательной
к графику функции
при переходе аргумента из точки
в точку
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке
(касательная),
(нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента
до момента
то
средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке
функция
непрерывна в точке
(обратное, вообще говоря, неверно; пример:
непрерывна в точке
но
не существует).
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 559 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!