![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке
или функцией класса
, если
При этом пишут
Таким образом,
Например, функция а функции
не являются функциями класса
Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса
Если
то
т.е.
Доказательство. Свойство очевидно. Докажем свойство
(другие свойства доказываются аналогично). Пусть
и
Тогда для произвольного
существуют числа
такие, что
Выберем Тогда
будут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что
Это и означает, что т.е. верно свойство
. Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при
Теорема 4. Если существует (конечный) предел то
Обратно: если функция
представляется в виде
то
имеет предел в точке
и
Доказательство. Существование предела эквивалентно высказыванию
Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция
т. е. что
Теорема доказана.
Замечание 2. Равенство называют асимптотическим разложением функции
имеющей предел в точке
И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.
Определение 4. Множества
называются окрестностями точек соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции
в бесконечности:
Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.
Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы то и существуют пределы
при этом
Если (кроме существования пределов и
) выполняется ещё условие
то существует предел
причем
Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы то по теореме 4 имеют место асимптотические разложения
Умножая эти равенста друг на друга, будем иметь
Поскольку
то
(см. теорему 3). Далее, поскольку
то функция
представляется в виде
По теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведения
при
и он равен
Теорема доказана.
6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
Введем следующее понятие. Пусть конечная или бесконечная точка и пусть функ-
ции и
определены в некоторой проколотой окрестности точки
Определение 4. Две бесконечно малые функции и
(при
) называются
эквивалентными, если в некоторой проколотой окрестности
и если
При этом пишут:
Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.
Теорема 6. Если и если существует предел
то существует и предел
и он также равен числу
Доказательство. Переходя в тождестве к пределу при
и учитывая, что
получаем утверждение теоремы.
Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:
Таблица 1.
Если при
то при
верны следующие соотношения:
const.
можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.
Пример 1.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 505 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!