![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности
точки
Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при
если для всякого
существует число
такое, что
При этом пишут
Заметим, что – это не число, а символ, поэтому бесконечный предел – это всего лишь обозначение бесконечно большой функции. Тем не менее при вычислениях удобно относиться к бесконечному пределу как к обычному, хотя для бесконечных пределов и существуют свои правила действий, несколько отличные от правил действий над конечными пределами (см. ниже таблицу 2).
Если функция сохраняет знак в некоторой проколотой окрестности точки
и является при этом бесконечно большой функцией, то естественно писать
(в зависимости от знака функции в указанной окрестности). Более точно:
В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестность
конечной предельной точки Почти дословно определяются бесконечно большие функции на бесконечности. В этом случае под точкой
следует понимать один из символов:
а под окрестностью
окрестность соответствующей бесконечно удаленной точки
Например,
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть функция не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности
точки
Тогда справедливо высказывание
Иначе говоря, для того чтобы функция была бесконечно малой при
необходимо и достаточно, чтобы обратная к ней по величине функция
была бесконечно большой при
Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями:
Таблица 2
И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций.
Теорема 7 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки
выполняются неравенства
и пусть, кроме того, крайние функции имеют пределы в точке
и эти пределы равны друг другу, т.е.
Тогда существует предел промежуточной функции и он равен т. е.
Теорема 8. Пусть в некоторой окрестности
точки
выполняются неравенства
и пусть существуют пределы
Тогда (докажите это утверждение самостоятельно).
Теорема 9 (о знаке предела). Если в некоторой проколотой окрестности функция
неотрицательна (неположительна) и существует предел
то
(соответственно
).
В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственный переход к пределу при приводит к одному из символов типа
возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределенность при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределенность может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределенности. Поясним сказанное примером.
Пусть требуется вычислить предел Если в указанном отношении мы сразу же перейдем к пределу, то получим неопределенность типа
Что скрывается под этим символом, мы пока не знаем. Попрубуем избавиться от неопределенности. Применим для этого таблицу 1 стандартных асимптотических разложений и теорему 5. Получим
Лекция 2. Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции. Разрывные функции и классификация точек разрыва. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная сложной функции. Таблица производных
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 444 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!