Напряжения в наклонных сечениях при одноосном растяжении (сжатии). Закон парности касательных напряжений

Все сказанное до сих пор о напряжениях, возникающих в сечениях растянутого (сжатого) бруса, относилось к поперечным сечениям, которые перпендикулярны к оси бруса. Теперь рассмотрим напряжения, возникающие при осевом растяжении и сжатии в наклонных (косых) сечениях. Это позволит выяснить общую картину напря­жений, возникающих в различных сечениях, получить зависимости для определения напряжения, возникающего по любой площадке, и определить, под каким углом рас­полагаются те сечения, в которых напряжения достигают наибольших значений.

Возьмем прямой брус (рис. 11а), растягиваемый силой N, и определим на­пряжения в нем по наклонному сечению, составляющему с поперечным сечением угол α.

Внешняя нормаль составит с осью бруса также угол α, причем, последний отсчитывается в направлении против движения часовой стрелки от линии действия силы N до нормали к плоскости наклонного сечения (рис. 11б).

Рассечем мысленно брус сечением 2-2, отбросим верхнюю часть его и заменим действие отброшенной части на нижнюю внутренними силами, параллельными оси бру­са и распределенными равномерно по всему сечению. Равнодействующая этих сил будет равна растягивающей силе N.

Если через F обозначить площадь поперечного сечения 1 – 1, то площадь наклон­ного сечения 2 - 2 - , а полное напряжение в сечении: , где .

Величина Р, следовательно, зависит от угла α: чем меньше угол α, тем больше напряжение Р.

При α = 0 сечение 2-2 совпадает с сечением 1-1, Cos α = 1, тогда , т.е. в этом случае полное напряжение будет равно нормальному осевому напряжению.

При увеличении угла α до 90°, Cosα = 0 и, стало быть р = 0; т.е. по площадкам, параллельным оси бруса, полное напряжение, а значит, и нор­мальное напряжение равно нулю.

Разложим напряжение р на составляющие в плоскости 2-2 и перпендикуляр­но к ней (рис. 11в). Составляющая, нормальная к площадке 2-2, представляет со­бой нормальное напряжение по наклонной площадке, а со­ставляющая, действующая в самой площадке 2-2 - касательное напряжение.

Величина нормального напряжения:

,

а величина касательного напряжения:

,

или окончательно:

, (9.1)

. (9.2)

Из полученных формул (9.1) и (9.2) следует, что оба вида напряжений по наклонному сечению зависят от величины угла α. Чем меньше угол α, тем больше будет нормальное напряжение.

При α = 0 оно равно осевому нормальному напряжению, поскольку .

С увеличением угла α нормальное напряжение σ_α убывает и при α = 90°;
, так как . При α =45° нормальное напряжение в наклонном сечении:

Касательное напряжение с изменением угла α от 0 до 90° сначала возрас­тает от нуля (при α = 0) до наибольшего своего значения (при α = 45°):

;

а затем с увеличением угла от 45° касательное напряжение убывает и при α=90° становится равным нулю:

.

Таким образом, наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам, перпендикулярным к оси бруса, а наибольшие касательные напряжения - по площад­кам, расположенным под углом 45° к оси бруса и равны половине осевого нормального напряжения, т. е. .

По площадкам же, параллельным оси бруса (при α =90°), , т.е. в продольных плоскостях бруса не возникает ни нормальных, ни касательных напряжений. Отсюда следует, что между продольными волокнами растянутого (сжато­го) бруса не возникает ни взаимного нажатия, ни отрыва.

В любом наклонном сечении бруса будут возникать одновременно оба вида на­пряжений: нормальные и касательные.

Теперь определим напряжения по сечению 3-3, перпендикулярному к сечению 2-2 (рис. 12а, б). Нормаль к площадке 3-3 составит с осью бруса угол α₁ =270⁰+ α.

Для определения нормального и касательного напряжений по площадке 3-3 при­меним формулы (9.1) и (9.2). Подставив в них значение угла , получим:

.

Касательные напряжения:

.

Сравнивая формулы (9.1) и (9.2) с полученными, можно сделать следующие вы­воды:

а) величины нормальных напряжений по двум любым взаимно перпендикулярным сечениям различны, но сумма их постоянна и равна осевому нормальному напряжению, т.е.:

б) касательные напряжения по двум любым взаимно перпендикулярным сечениям равны по величине, но противоположны по знаку:

.

Следовательно, если представить себе брус разрезанным секущими площадками 2-2 и 3-3 (рис. 12в), то касательные напряжения по ним или сходятся к вершине пря­мого угла, или расходятся от нее. Это положение, справедливое не только в слу­чаях растяжения или сжатия, но и для других деформаций, при которых возникают касательные напряжения, называется законом парности касательных напряжений. Он читается так: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам и перпендикулярные к их общему ребру пересечения, численно равны между собой и направлены оба либо к ребру, либо от ребра (обратны по знаку).