Полярный момент сопротивления круга и кольца, расчет круглых брусьев на прочность и жесткость при кручении

Величина полярного момента инерции площади круга:

(8.1)

Выразив величину полярного момента сопротивления тоже через диаметр, получим:

(8.2)

Из формулы (7.8) следует, что касательные напряжения в точках сечения, близких к центру, т.е. при малых ρ, незначительны. Значит, крутящий момент обусловлен, главным образом, напряжениями, действующими в части сечения, наи­более удаленной от центра, а материал центральной части бруса (вала) исполь­зуется мало. Поэтому с целью облегчения вала нередко изготовляют их полыми (кольцевого сечения) (рис. 10). Для расчета диаметра такого вала нужно уметь определять величину полярного момента сопротивления его сечения.

Обозначим наружный диаметр D, а внутренний d.Тогда полярный момент инерции кольце­вого сечения определится как разность полярных моментов инерции внешнего ивнутреннего кругов:

Полярный момент сопротивления кольцевого се­чения:

Задавшись отношением диаметров или ,получим формулы:

, (8.3)

. (8.4)

Если известна величина полярного момента сопротивления сечения, можно определить наибольшее значение касательного напряжения по формуле (7.9); при этом, по условию прочности оно не должно быть больше допускаемого, т.е.

. (8.5)

Полученное уравнение (8.5) является расчетным уравнением при кручении. Подбор диаметра вала из условия прочности производят по формуле:

. (8.6)

Подставив в эту формулу значение полярного момента сопротивления , получим:

откуда , (8.7)

или . (8.8)

По формуле (8.5) можно также определить наибольший крутящий момент:

. (8.9)

Кроме условия прочности, к валу предъявляют требование жесткости. Оно состоит в том, чтобы угол закручивания вала на единице его длины не превышал определенной, наперед заданной величины. При расчете длинных валов условие жесткости предъявляется в первую очередь.

Расчетное уравнение из условия жесткости будет:

, (8.10)

где [φ] - допускаемый угол закручивания.

Перейдем к углу закручивания на длине одного метра вала:

. (8.11)

Подставляя в это уравнение выражение для полярного момента инерции , получим расчетную формулу для определения диаметра вала из условия жесткости:

(⁰/пог.м). (8.12)

Для полых валов расчетная формула будет иметь вид:

, (8.13)

где D - внешний диаметр вала;

- отношение внутреннего и внешнего диаметров вала.

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ