Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть на отрезке задана непрерывная функция y=f(x), и меющая первообразную F(x), и пусть существует функция , такая, что

1. ; 2. …. и…. непрерывны на отрезке ; 3. непрерывна на отрезке . Тогда справедливо равенство

(12.11)

Доказательство.

Таким образом, сравниваем левую и последнюю части, приходим к формуле (12.11).

Как и в случае с неопределенным интегралом, использование замены переменной позволяет упросить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом, в отличие от неопределенного интеграла, нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы изменения новой переменной интегрирования t, когда .

Замечание. Как и в случае неопределенного интеграла, на практике новую переменную вводят как функцию . В этом случае пределы интегрирования новой переменной находятся совсем просто:

Пример. Вычислить

Решение. Пусть . Тогда . Если , то , если , то Следовательно,

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и имеют производные на отрезке . Тогда

(12.12)

Доказательство.

Как известно, . Проинтегрируем то равенство на отрезке .

Но , откуда и следует формула (12.12), которая называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла.

Пример. Вычислить

Решение.

Пусть , . Тогда ,

Применяя формулу (12), получаем