Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема 1. Пусть на отрезке задана непрерывная функция y=f(x), и меющая первообразную F(x), и пусть существует функция , такая, что
1. ; 2. …. и…. непрерывны на отрезке ; 3. непрерывна на отрезке . Тогда справедливо равенство
(12.11)
Доказательство.
Таким образом, сравниваем левую и последнюю части, приходим к формуле (12.11).
Как и в случае с неопределенным интегралом, использование замены переменной позволяет упросить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом, в отличие от неопределенного интеграла, нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы изменения новой переменной интегрирования t, когда .
Замечание. Как и в случае неопределенного интеграла, на практике новую переменную вводят как функцию . В этом случае пределы интегрирования новой переменной находятся совсем просто:
Пример. Вычислить
Решение. Пусть . Тогда . Если , то , если , то Следовательно,
Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и имеют производные на отрезке . Тогда
(12.12)
Доказательство.
Как известно, . Проинтегрируем то равенство на отрезке .
Но , откуда и следует формула (12.12), которая называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла.
Пример. Вычислить
Решение.
Пусть , . Тогда ,
Применяя формулу (12), получаем
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 686 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!