Метод интегрирования по частям

Пусть и – дифференцируемые функции. Тогда по свойству дифференциала или

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем

(11.2)

Формула (11.2) называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла. При использовании этой формулы разбиение подынтегрального выражения исходного интеграла на два сомножителя u и dv осуществляется таким образом, что один из них u - дифференцируется, а второй – dv - интегрируется. При этом цель заключается в том, чтобы новый интеграл был проще исходного .

Пример. Найти интегралы

а) б)

а)

Анализ полученного решения показывает, что постоянная С₁, полученная при вычислении , не входит в общее решение. Поэтому можно считать, что С=0. Это упрощает запись решения.

б)

В некоторых случаях формулу интегрирования приходится применять несколько раз.

Пример.

Следует иметь в виду, что по частям находят интегралы типов:

а) ; ; ;

б) ; ; ;

в) ; ,

где a, b, k – действительные числа, n – целое положительное число.

При вычислении интегралов группы «а)» принимают xⁿ=u; при вычислении интегралов группы «б)» принимают dv=x^kdx.