 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Частные производные. Дифференциальные функции
|
|
Рис.10.6
Пусть функция 
определена в точке М0 (x, y) 
D и некоторой её окрестности. Её графиком является поверхность 
. Точке М0 (x, y) соответствует на поверхности точка P0(x0,y0,z0) (Рис. 10.6). Дадим аргументам x и y приращения 
и 
соответственно. Тогда функция Z получит полное приращение
, где точка
. Если дать приращение только аргументу x, зафиксировав значение аргумента y, то функция z получит частное приращение 
, измеряемое величиной отрезка 
(Рис.10.6). Аналогично вводится понятие частного приращения 
равного величине 
.
Определение. Предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента, когда последнее стремится к нулю, вычисленный в предположении того, что второй аргумент сохраняет постоянное значение (если этот предел существует), называется частной производной функции двух переменных по соответствующей переменной.
Обозначаются частные производные следующим образом:
Аналогично вводится понятие частных производных для функции трех и более переменных.
Геометрический смысл частных производных функций показан на рис. 10.6. Частная производная 
, где 
- угол наклона касательной к поверхности и осью ОX в сечении этой поверхности плоскостью x=x0.
Пример. Найти частные производные функций
1. z = x2 + y2 - 3xy + x3y
Расматривая y как константу, а затем x как константу, получаем соответственно 
.
2. 
Обобщая понятие дифференциала функции одной переменной на случай функции двух переменных, введем определения.
Определение. Выражение 
называется полным дифференциалом функции двух переменных.
Как и для функции одной переменной для независимых переменных 
Следовательно, полный дифференциал в точке Мо (x0 , y0):
представляет собой линейное выражение. По аналогии с функцией одной переменной можно показать, что полное приращение функции f(x,y)
(10.3).
и 
- бесконечно малые величины. В этом случае дифференциал 
есть главная линейная часть приращения функции z = f(x,y).
Определение. Если полное приращение функции z = f(x,y) может быть представлено в виде (10.3), функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y).
Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в точке (x,y) и имеет в ней частные производные 
и 
. Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных, и если они непрерывны, то можно ставить вопрос о существовании для них производных по любому из аргументов. Эти производные называются частными производными второго порядка функции z.
;
;
;
и 
называются смешанными частными производными второго порядка. Имеет место следующая теорема.
Если смешанные частные производные второго порядка функции
z = f(x,y) непрерывны в некоторой точке М0 (x0, y0), то они в ней равны =
Пример. Найти частные производные второго порядка функции 
. Находим частные производные первого порядка.
Убеждаемся, что 
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 272 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
