![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
что и требовалось доказать.
2.
3. , где
Рис.12.3
4.
5.
6.Пусть для
возрастает на отрезке
. Значит
, если
7. Пусть на отрезке
,тогда
Действительно, если , то
. Следовательно,
.
Откуда
.
Или
Легко иллюстрируется на основании геометрического смысла.
8.Пусть функция непрерывна на отрезке
и m и M – ее наименьшее и наибольшее значения соответственно на этом отрезке. Тогда
(12.9)
Доказательство. По условию
. В соответствии со свойством (12.7)
Откуда вытекает неравенство (9)
Если на отрезке
, то свойство легко иллюстрируется геометрически: площадь под кривой y=f(x) заключена между площадями прямоугольников с тем же основанием (b-a) и высотами
9. Теорема о среднем. Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке и
- одна из ее первообразных (с=0). Значит
. В соответствии с теоремой Лагранжа на отрезке
существует точка
в которой
. Используя формулу Ньютона-Лейбница, имеем
Или окончательно
(12.10)
Полученный результат (10) формулируется как теорема о среднем: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
, то на этом отрезке найдется такая точка
, что справедливо равенство (10)
Если на отрезке
,то теорема о среднем легко иллюстрируется геометрически: на отрезке всегда существует такая точка
что площадь под кривой y=f(x) на
равна площади прямоугольника со сторонами (b-a) и f(
)
Найденное из равенства (12.10)
называется средним значением функции f(x) на отрезке
.
Пример. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t)=-0,00625t2 (денежная единица/час), где t - время в часах от начала работы . Найти: объем произведенной продукции за один рабочий день и среднюю производительность за день.
Среднее значение производительности за один рабочий день
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 602 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!