Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное численное значение

Ряд распределения представляет собой таблицу, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины, а во второй - их вероятности:

			…
			…

Поскольку ряд распределения содержит все возможные значения случайной величины, то суммарная вероятность должна быть равна 1.

По ряду распределения можно находить различные вероятности и строить многоугольник распределения.

Многоугольник распределения – ломаная, которая соединяет точки, абсциссы которых содержит первая строка ряда распределения (значения случайной величины), а ординаты – вторая строка (вероятности этих значений).

ПРИМЕР. Происходит опыт с бросанием двух игральных кубиков. Пусть случайная величина Х - сумма выпавших очков. Составить для нее ряд распределения, построить многоугольник распределения и найти вероятности: .

РЕШЕНИЕ:

Если случайная величина Х - сумма выпавших очков при бросании двух кубиков, то ее спектр возможных значений имеет вид:

{2,3,4,5,6,7.8,9,10,11,12}.

Найдем вероятности этих значений.

Общее число всех возможных случаев n=36. Значению Х=2 благоприятен один случай, когда на обоих кубиках выпадает по одному очку (1;1), следовательно, m=1. Тогда по классической формуле подсчета вероятностей:

.

Значению Х=3 благоприятно два случая: (1;2) и (2;1), следовательно, m=2. Тогда:

.

Значению Х=4 благоприятно три случая: (2;2), (3;1), (1;3), следовательно, m=3. Тогда:

.

Значению Х=5 благоприятно четыре случая: (2;3), (3;2), (1;4), (4;1), следовательно, m=4. Тогда:

.

Значению Х=6 благоприятно пять случаев: (3;3), (4;2), (2;4), (5;1), (1;5), следовательно, m=5. Тогда:

.

Значению Х=7 благоприятно шесть случаев: (3;4), (4;3), (2;5), (5;2), (1;6), (6;1), следовательно, m=6. Тогда:

.

Значению Х=8 благоприятно пять случаев: (3;5), (5;3), (2;6), (6;2), (4;4), следовательно, m=5. Тогда:

.

Значению Х=9 благоприятно четыре случая: (6;3), (3;6), (5;4), (4;5), следовательно, m=4. Тогда:

.

Значению Х=10 благоприятно три случая: (5;5), (4;6), (6;4), следовательно, m=3. Тогда:

.

Значению Х=11 благоприятно два случая: (5;6) и (6;5), следовательно, m=2. Тогда:

.

Значению Х=2 благоприятен один случай: (6;6), следовательно, m=1. Тогда:

.

Составляем ряд распределения:

Можно убедиться, что суммарная вероятность в таблице равна 1.

Теперь построим многоугольник распределения:

Теперь найдем искомые вероятности:

Кроме ряда распределения, дискретные случайные величины имеют несколько числовых характеристик. Рассмотрим их.

Математическим ожиданием M[X] дискретной случайной величины Х называется сумма ряда

Например, в рассмотренном выше примере с двумя игральными кубиками:

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание от постоянной величины равно этой постоянной величине:

М[C]=C, C=const.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин Х и У равно сумме математических ожиданий этих величин:

М[X+Y]=M[X]+M[Y].

3. Математическое ожидание суммы случайной величины Х и постоянной величины С равно сумме математического ожидания Х и самой величины С:

М[X+С]=M[X]+С.

4. Постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания:
М[k X]=k M[X], где k=cоnst.

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У равно произведению математических ожиданий этих величин:

М[XY]=M[X]M[Y].

Другая характеристика случайных величин называется дисперсией.

Дисперсия - это мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии часто используют другую формулу:

Вычислим дисперсию для случайной величины из предыдущего примера. Сначала воспользуемся определением дисперсии:

Теперь воспользуемся другой формулой для дисперсии;

Естественно, что результат получился одинаковым.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия от постоянной величины равна нулю:

D[C]=0, C=const.

2. Дисперсия суммы случайной величины Х и постоянной величины С равна дисперсии величины Х:

D[X+С]=D[X].

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

.