Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора

Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.

Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням () и соответственно,или представление функции в окрестности точек или степенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках = и = 0 соответственно. Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.

Достаточный признак сходимости ряда Тейлора:

Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале < r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю .

Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа

Условие выполняется, если производные всех порядков функции ограничены некоторым числом