![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если функция f(x) чётная на отрезке [-a;a], то
Если функция f(x) нечётная на отрезке [-a;a], то
Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение (2), что:
1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C 1, C 2, …, Cn из некоторой области n -мерного пространства) - частное решение уравнения (1);
2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C 1, C 2, …, Cn.
Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: (3) и получать общее решение в форме
(4) решённой относительно неизвестной функции.
Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y (x) = ex + x обращает уравнение: y (4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y (4)(x) = ex; ex –(ex + x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка
имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y (x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f (x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения
; (8) удовлетворяющее начальному условию y (x 0) = y 0; (9) (начальное условие (9) часто записывают в форме
).
Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки
в окрестности точки x 0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).
23. Теорема о существовании и единственности решения ДУ в полных дифференциалах.
24. Определитель Вронского.
Определитель Вронского — определитель следующей матрицы:
Применяется для решения дифференциальных уравнений.
Имеют место следующие теоремы: Пусть y1(x),…,yn(x) — (n-1) раз дифференцируемые функции, тогда:
· Если y1(x),…,yn(x) линейно зависимы на X, то det(W) = 0.
· Если det(W) = 0 хотя бы для одного , то y1(x),…,yn(x) линейно зависимы на X.
Или:
· Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что y1(x),…,yn(x) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, что означает линейную независимость функций y1(x),…,yn(x).
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 296 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!