Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости

Функциональные ряды вида называются степенным рядом по степеням(z-z₀), где a₁ a₂... a_n R -коэффициенты степенного ряда, называются степенными рядами.

При z₀=0 получим .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться.

Поскольку замена (z-z₀)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Областью сходимости ряда является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах — расходится

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда, a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R= ). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).