Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до ()-го порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула Тейлора
(1)
Для функции одной переменной имеем
и формула (1) принимает знакомый вид
Для функции двух переменных в формуле (1)
и т.д.,
то есть дифференциал -го порядка берется в точке .
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
,
Здесь производные берутся в некоторой средней точке :
, , , .
Остаточный член в форме Пеано (при более слабых предположениях).
, .
Пример 1. Для функции записать формулу Тейлора в окрестности точки .
Решение. Подсчитаем и частные производные:
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Найдем вторые производные: , , .
Запишем второй дифференциал в точке :
.
Все производные порядка выше второго равны нулю. Формула Тейлора принимает вид . Фактически мы перегруппировали данный многочлен по степеням и . ☻
Пример 2. Записать формулу Тейлора -го порядка для функции в окрестности точки .
Решение. Находим и частные производные:
.
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Подсчитаем вторые производные:
, , .
Теперь можем записать второй дифференциал в точке :
.
Продолжаем дифференцировать: . Все остальные производные 3-го порядка равны нулю: .
Значит, из третьего дифференциала в точке остается одно слагаемое:
.
Легко заметить, что дальнейшее дифференцирование по приводит к формуле . Значит, .
Формула Тейлора принимает вид:
,
где , . ☻
В частном случае при из (1) получаем формулу Маклорена.
Пример 3. Функцию разложить по формуле Маклорена до членов второго порядка.
Решение. Для формулы Маклорена следует записать разложение (1) в окрестности точки . Находим .
Для первого дифференциала находим
.
Так как , то .
Чтобы записать второй дифференциал, находим
.
Получаем .
Формула Маклорена для функции принимает вид
, . ☻
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 1981 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!